Funktionser Hom

In der Mathematik ist der Funktor Hom ein Funktor , der mit Morphismen der Kategorie von Mengen assoziiert ist . Es ist von zentraler Bedeutung in der Kategorietheorie , insbesondere wegen seiner Rolle in Yonedas Lemma und weil es uns erlaubt, den Funktor Ext zu definieren .

Definition

Entweder eine lokal kleine Kategorie . Für jedes Objektpaar A und B in dieser Kategorie induziert ein Morphismus eine Funktion $\ mathcal C.$ $f: A \ bis B.$

f \ circ -: \ mathrm {Hom} (X, A) \ bis \ mathrm {Hom} (X, B)

für jedes X- Objekt .

Wir können dann definieren:

der kovariante Funktor Hom (entsprechend darstellbaren Funktoren ); ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (X, -): {\ mathcal {C}} \ to {\ mathsf {Set}}}$
der kontravariante Funktor Hom ; ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (-, X): {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}} \ to {\ mathsf {Set}}}$
der kovariante Hom- Bifunktor ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (-, -): {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}} \ times {\ mathcal {C}} \ to {\ mathsf {Set}}.}$

Das Yoneda-Lemma charakterisiert die Form der natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren Hom .

Einige Kategorien haben einen Bi-Funktor ähnlich wie Hom , aber die Kategorie selbst als Codomäne:

{\ displaystyle [-, -]: {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}} \ times {\ mathcal {C}} \ to {\ mathcal {C}}.}

In diesem Fall sprechen wir von einem internen Funktor Hom und sagen, dass es sich um eine geschlossene Kategorie handelt . Das Weglassen von Funktors ermöglicht die Funktors zu finden Hom „extern“ vom Funktors Hom intern, das entspricht dem Betrieb currying auf einer Monoidale Kategorie geschlossen (EIN) .

Referenz

(en) Saunders Mac Lane , Kategorien für den Arbeitsmathematiker [ Detail der Ausgabe ]