Tensorraum

Oder E ein Modul auf einer kommutativen Ring Einheit A . Genannt Tensor p mal kontra und q mal Kovariable auf E jedes Element des Tensorprodukt , das das ist Dualmodul von E . ${\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {p} E \ otimes \ bigotimes _ {j = 1} ^ {q} E ^ {*}}$ $E ^ {*}$

Sei u ein Automorphismus des A- Moduls E , ist der kontragrediente Morphismus von , dh der durch definierte Automorphismus . Wir können eine Aktion der linearen Gruppe GL ( E ) definieren durch: ${\ displaystyle {} ^ {t} u}$ $E ^ {*}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} u (\ varphi) = \ varphi \ circ u}$ ${\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {p} E \ otimes \ bigotimes _ {j = 1} ^ {q} E ^ {*}}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} u \ cdot x = & \ underbrace {(u \ otimes \ cdots \ otimes u} & \ otimes & \ underbrace {{} ^ {t} u \ otimes \ cdots \ otimes {} ^ {t} u)} (x) \\ & p && q \ end {matrix}}}

Wir nennen den Tensorraum auf E jedes Submodul H von Stable nach dem externen Gesetz . ${\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {p} E \ otimes \ bigotimes _ {j = 1} ^ {q} E ^ {*}}$ ${\ displaystyle (u, x) \ mapsto u \ cdot x}$