Topologische Entropie

In der Mathematik und genauer gesagt in der Theorie der dynamischen Systeme ist die topologische Entropie ein realer Faktor, der mit jedem Homöomorphismus eines separaten und kompakten topologischen Raums verbunden ist . Dieser Real charakterisiert die induzierte Wirkung des Homöomorphismus auf die endlichen offenen Überlappungen des betrachteten Raums oder vielmehr das begrenzende Verhalten seiner Iteration, wenn die Anzahl der Öffnungen gegen unendlich tendiert. Bestimmte Werke oder Artikel definieren das Konzept durch Beschränkung auf messbare kompakte Räume . Dies ermöglicht nicht nur die Angabe einer günstigeren Definition, sondern deckt auch alle interessanten Fälle ab. Darüber hinaus ermöglicht dieser zweite Ansatz die Neuinterpretation der topologischen Entropie im Hinblick auf das Grenzverhalten der Verfolgung der Bahnen des Homöomorphismus, ein wichtiges Werkzeug für das Verständnis topologischer dynamischer Systeme.

Topologische Entropie ist ein topologischer Begriff, nicht zu verwechseln mit metrischer Entropie, die messbare dynamische Systeme charakterisiert . Jeder Homöomorphismus auf einem kompakten Raum lässt jedoch unveränderliche borelsche Maße zu (en) ; Die topologische Entropie erscheint de facto als Obergrenze der entsprechenden metrischen Entropien (dies ist der Satz des Variationsprinzips ).

Formale Definition

Sei X ein messbarer kompakter Raum. Für einen gegebenen Abstand d auf X nennen wir r -suite eine beliebige Folge von Punkten von X, die durch einen Abstand von mindestens r getrennt sind : Dieser Begriff hängt explizit vom Abstand d ab . Die r- Suiten können als diskrete Variante der Bedeckung von X durch offene Kugeln angesehen werden. Beachten Sie die maximale Kardinal von Dr. -Fortsetzung von X . ${\ displaystyle n_ {d} (r)}$

Genauer gesagt, wenn die minimale Anzahl offener Kugeln mit dem Radius r bezeichnet wird , um X abzudecken , kann es nach Anwendung des Schubladenprinzips keine r- Sequenz mit einer Länge größer als geben . Umgekehrt wird für jeden r -Fortsetzung Maximum , die offenen Kugeln jeweilige Zentren und Radius r Überlappung X . In der Tat haben wir die Aufsicht: ${\ displaystyle m_ {d} (r)}$ ${\ displaystyle m_ {d} (r / 2)}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$

{\ displaystyle m_ {d} (r) \ leq n_ {d} (r) \ leq m_ {d} (r / 2)}

Sei X ein Homöomorphismus . Definieren Sie den iterierten Abstand über X durch: $f: X \ rightarrow X.$ $d_ {n}$

{\ displaystyle d_ {n} (x, y) = \ sup _ {0 \ leq i \ leq n} d (f ^ {i} x, f ^ {i} y)}

Diese Definition hängt vom Homöomorphismus f ab und wird als maximaler Abstand zwischen den ersten n Termen der jeweiligen Umlaufbahnen von x und y unter f interpretiert . Daher ist die maximale Anzahl von Punkten von X, die während der ersten n Iterationen von f durch einen Abstand von mindestens r getrennt bleiben . ${\ displaystyle d_ {n} (x, y)}$ ${\ displaystyle n_ {d_ {n}} (r)}$

Die topologische Entropie von f wird formal definiert durch:

{\ displaystyle h (f) = \ lim _ {r \ rightarrow 0} \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log n_ {d_ {n}} (r)}

A priori hängt diese Definition explizit von der Verwendung eines beliebigen Abstands im X- Raum ab . Es stellt sich a posteriori heraus, dass diese Größe nur von der Topologie von X abhängt (von den Daten der Öffnungen von X ).

Verfolgung

Die Verfolgung besteht darin, sich den ersten Termen einer Umlaufbahn von f durch eine Reihe von Punkten in enger Entfernung zu nähern . In der Praxis ist es interessant, Umlaufbahnen mit Pseudo-Umlaufbahnen zu verfolgen. Die Mindestanzahl von Umlaufbahnen von f , die verwendet werden muss, um alle Umlaufbahnen von f verfolgen zu können, beträgt . Einige Ungleichungen: $\ epsilon$ ${\ displaystyle m_ {d_ {n}} (r)}$

{\ displaystyle m_ {d_ {n}} (r) \ leq n_ {d_ {n}} (r) \ leq m_ {d_ {n}} (r / 2)}

Er kommt :

{\ displaystyle h (f) = \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log m_ {d_ {n}} (r) }}

Somit liegt informell für kleines r in der Größenordnung der Größenordnung von . ${\ displaystyle m_ {d_ {n}} (r)}$ ${\ displaystyle exp ((h (f) + o (r)). n)}$

Unabhängigkeit in der Ferne

Wir betrachten und zwei Entfernungen über . Entweder wir überlegen . $d$ $von$ $X.$ $\ varepsilon> 0$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon) = \ sup \ left \ {d '(x, y), d (x, y) \ leqslant \ varepsilon \ right \}}$

Wenn ein Teil ist -Durchmesser , dann hat es -Durchmesser . Eine Sammlung ist also auch eine Sammlung. Da ist kompakt, haben wir . $BEIM$ $d_ {n}$ ${\ displaystyle \ leqslant \ varepsilon}$ ${\ displaystyle d '_ {n}}$ ${\ displaystyle \ leqslant \ delta (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle d '_ {n}}$ $d_ {n}$ $X.$ ${\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ delta (\ varepsilon) = 0}$

Deshalb,

${\ displaystyle \ lim \ limitiert _ {\ delta \ rightarrow 0} \ lim \ limitiert _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {n}} \ ln n_ {d '_ {n}} ( \ delta) \ leqslant \ lim \ limitiert _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ lim \ limitiert _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {n}} \ ln n_ {d_ {n}} ( \ varepsilon)}$

Durch Austausch und in der Definition von haben wir die entgegengesetzte Ungleichung. Daher die Unabhängigkeit der Distanz. $d$ $von$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)}$ $h$

Als unmittelbare Konsequenz schließen wir, dass wenn und (topologisch) konjugiert sind, das heißt, dass es einen solchen Homöomorphismus gibt , dann . $(X, f)$ ${\ displaystyle (Y, g)}$ ${\ displaystyle \ varphi: Y \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f \ circ \ varphi = \ varphi \ circ g}$ ${\ displaystyle h (f) = h (g)}$

In der Tat, wenn eine Entfernung eingeschaltet ist , dann ist eine Entfernung eingeschaltet, und wir können dies leicht überprüfen . Da die Rückforderungen an diejenigen gesendet werden, die ihre Kardinäle erhalten haben, schließen wir daraus . $d$ $X.$ ${\ displaystyle d '(x, y): = d {\ big (} \ varphi (x), \ varphi (y) {\ big)}}$ $Y.$ ${\ displaystyle d '_ {n} (x, y) = d_ {n} {\ big (} \ varphi (x), \ varphi (y) {\ big)}}$ $\ varphi$ $Y.$ $X.$ ${\ displaystyle h (f) = h (g)}$

Durch die Kompaktheit von X kann man für jede offene Abdeckung U von X endliche Unterabdeckungen daraus extrahieren. Beachten Sie N (U) die minimale Anzahl offener Auswahlen aus U , um eine Abdeckung von X zu bilden . Diese Zahl N (U) ist eine abnehmende Funktion von U : Wenn V eine feinere Abdeckung als U ist , dann ist N ( V ) < N ( U ).

Für U und V ist dort die Wiederherstellung gegeben, die aus offenen Schnittpunkten U durch offenes V besteht . Es ist elementar zu beachten: ${\ displaystyle U \ lor V}$

{\ Anzeigestil N (U \ lor V) \ leq N (U) .N (V)}

Wir bauen eine Sequenz durch Induktion auf, indem wir posieren: $EIN}$

{\ displaystyle U_ {n} = f ^ {*} U_ {n-1} \ lor U}

Die Sequenz ist in n subadditiv . Durch klassische mathematische Ergebnisse konvergiert die Beziehung . Wir nennen die relative Entropie von f in Bezug auf U die Grenze: ${\ displaystyle \ log N (U_ {n})}$ ${\ displaystyle \ log N (U_ {n}) / n}$

{\ displaystyle h (f, U) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log N (U_ {n})}

Formale Definition

{\ displaystyle h (f) = \ sup _ {U} h (f, U)}

Diese relative Entropie nimmt in U ab . Das Supremum kann als Passage zur Grenze offener Deckel von X gelesen werden . Dieser Übergang zur Grenze wird durch den Begriff des Filters mathematisch formalisiert .

Einfacher ist es hier möglich, h ( f ) als Grenze für eine Reihe relativer Entropien einzuführen . Genauer gesagt haben wir:

{\ displaystyle h (f) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} h (f, U_ {n})}

was ist ein Ergebnis der Wiederfindungsraten zunehmend Zwecke, die die Eigenschaft haben , dass für jede Erholung V für gegebene n ausreichend groß ist , ist feiner als V . $EIN}$ $EIN}$

Entfernung eingeben

Für jeden Homöomorphismus f eines separaten kompakten topologischen Raums X ist die topologische Entropie von f k das k- fache der topologischen Entropie von f :

{\ displaystyle h (f ^ {k}) = kh (f)}

{\ displaystyle h (f ^ {- 1}) = h (f)}

Satz von Misiurewicz und Szlenk

Sei eine stetige Funktion. Wir sagen , dass abschnittsweise monotone ist , wenn es eine endliche Unterteilung ist , so dass auf jede monotone ist und wir bezeichnen die kleinste ganze Zahl , die diese Eigenschaft hat. Es gibt also folgende Grenzen und wir haben: ${\ displaystyle f: I = [a, b] \ longrightarrow I}$ $f$ ${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <... <x_ {p} = b}$ $f$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ $M (f)$ ${\ displaystyle p \ geqslant 1}$

${\ displaystyle h (f) = \ lim \ limitiert _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {n}} \ ln M (f ^ {\ circ n}) = \ lim \ limitiert _ { n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {n}} \ mathrm {VT} (f ^ {\ circ n})}$

wo (zusammengesetzte Zeiten) und ist die Gesamtvariation von . ${\ displaystyle f ^ {\ circ n} = f \ circ \ ldots \ circ f}$ $nicht$ ${\ displaystyle VT (g)}$ $G$

Anwendung auf den Fall von Zeltfunktionen: Wir betrachten Zeltfunktionen, bei denen es sich um ein kompaktes Intervall von handelt, dh um kontinuierliche Funktionen, die von Stücken mit der gleichen Steigung im absoluten Wert beeinflusst werden. ${\ displaystyle T_ {s}: I \ rightarrow I}$ $ich$ $\ mathbb {R}$ $s$

Da die Funktionen auch Hangzelte sind, sind sie -lipschitzian und daher wo ist die Länge von . Daraus können wir bereits schließen . ${\ displaystyle T_ {s} ^ {n}}$ $s ^ {n}$ $s ^ {n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {VT} (T_ {s} ^ {n}) \ leqslant s ^ {n} \ ell (I)}$ ${\ displaystyle \ ell (I)}$ $ich$ ${\ displaystyle h (T_ {s}) \ leqslant \ ln (s)}$

Indem wir eine maximale Unterteilung betrachten , die jeweils monoton ist (gleiche Affinität der Steigung ) und dann in das Segment der Enden aufgenommen wird , leiten wir daraus ab, woher ${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <... <x_ {p} = b}$ ${\ displaystyle T_ {s} ^ {n}}$ $s ^ {n}$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ ${\ displaystyle T_ {s} ^ {n} {\ big (} [x_ {i}, x_ {i + 1}])}$ ${\ displaystyle \ left \ {T_ {s} ^ {n} (x_ {i}), T_ {s} ^ {n} (x_ {i + 1}) = T_ {s} ^ {n} (x_ { i}) \ pm s ^ {n} (x_ {i + 1} -x_ {i}) \ right \}}$ ${\ displaystyle p \ leqslant s ^ {n}}$ ${\ displaystyle h (T_ {s}) \ geqslant \ ln (s)}$

Externe Links

Kleiner Einführungstext zur topologischen Entropie

Anmerkungen und Referenzen

(in) Karen Butt, " Eine Einführung in die topologische Entropie " ,2014
(in) M. & W. Misiurewicz Szlenk, " Entropie stückweise monotoner Abbildungen " ,1977