Dynamik dissipativer Partikel

Die Dynamik dissipativer Partikel , oft als DPD bezeichnet , ist eine stochastische Differentialgleichung , die in der Molekulardynamik verwendet wird, um häufig Polymere oder andere Systeme zu modellieren , die aus komplexen Molekülen bestehen . Dieses Modell wurde 1992 von Hoogerbrugge und Koelman entwickelt, um die Bewegung von Polymeren in einem Lösungsmittel aus viel kleineren Partikeln zu modellieren . Das Problem bei einem solchen System besteht darin, dass es zwei Phasen mit sehr unterschiedlichen Zeit- und Werteskalen koppelt: Die Moleküle des Lösungsmittels haben charakteristische Zeiten und Längen, die mehrere Größenordnungen kürzer sind als die der Polymere. Die Verwendung der klassischen Methoden der Molekulardynamik würde daher Zeitschritte erfordern, die dem Lösungsmittel entsprechen, und würde daher extrem lange Simulationen erfordern, um jedes Phänomen auf den Polymeren zu beobachten. Um numerische Simulationen solcher Systeme in angemessener Zeit durchführen zu können, ist es daher erforderlich, sogenannte "Multi-Scale" -Modelle zur Verfügung zu haben, die die Komplexität der Beschreibung verringern und gleichzeitig die als "wichtig" erachteten Informationen beibehalten. . Die Dynamik dissipativer Partikel ist ein solches Modell.

Kontext

Das ursprüngliche Ziel der dissipativen Partikeldynamik bestand darin, numerische Simulationen auf einer mesoskopischen Skala durchzuführen , dh für Zeit- und Größenordnungen, die zwischen atomistischen und hydrodynamischen Skalen liegen. Während der Untersuchung von Systemen dieser Größen kann der Partikelaspekt der Materie nicht vernachlässigt werden, um ihr Verhalten korrekt zu modellieren, und man kann daher nicht die Gleichungen verwenden, die sich aus der Dynamik von Flüssigkeiten ergeben (auch Hydrodynamik genannt). Diese Systeme sind jedoch viel zu groß und haben viel zu viele Atome, um die Molekulardynamik unter Verwendung der Newtonschen Bewegungsgesetze nutzen zu können . Dies liegt daran, dass diese Systeme häufig mehrere zehn Millionen Atome aufweisen und die heutigen Computer nicht schnell genug sind, um Probleme dieser Komplexität in angemessener Zeit zu lösen.

Daher sind mesoskopische Methoden, die sowohl den Partikelaspekt der Materie verwenden als auch die Systeme im Vergleich zu Newtons Beschreibung vereinfachen, für die Untersuchung der Materie in diesen Größenordnungen erforderlich. DPD ist eine dieser Optionen, es gibt jedoch auch andere Methoden wie die Methode der Gasgasautomaten , die Langevin-Gleichung oder den Thermostat Andersen (in) .

Die Idee hinter DPD ist es, jedes Molekül oder jeden Satz von Molekülen des betrachteten Systems zu einem einzigen Mesopartikel zusammenzufassen, das nur durch die Position und das Moment seines Massenschwerpunkts beschrieben wird. Diese Mesopartikel interagieren miteinander über Wechselwirkungen, die sich aus einem konservativen Potential ergeben (siehe potentielle Energie ), aber auch über Fluktuations- / Dissipationswechselwirkungen, d. H. Reibungskräfte, die proportional zur Geschwindigkeit der Massenschwerpunkte der Mesopartikel sind, die Energie und stochastische Fluktuationskräfte ableiten. die Energie in das System zurückspeisen. Die möglichen Lösungsmittelmoleküle des Systems sind nicht gezeigt, und ihre Auswirkungen müssen im konservativen Potential beschrieben werden, das auf die Mesopartikel wirkt.

Die Dynamik dissipativer Teilchen berücksichtigt im Gegensatz zu Langevins Gleichungen die galileische Invarianz und weist nicht die numerischen Artefakte auf, die mit dem zellulären Aspekt der Methode der Gittergasautomaten zusammenhängen . Darüber hinaus respektiert die DPD im Gegensatz zu Langevins Gleichungen die galileische Invarianz, dh die Dynamik bleibt unverändert, unabhängig davon, ob das System eine gleichmäßige geradlinige Translation aufweist oder unbeweglich ist: eine Reihe von Partikeln, die den Gleichungen der DPD folgen und eine konstante Nicht-Null haben Die Durchschnittsgeschwindigkeit verhält sich wie das gleiche System, jedoch mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von Null. Und während DPD erstellt wurde und hauptsächlich zur Modellierung komplexer Flüssigkeiten verwendet wird , kann es genauso einfach verwendet werden, um viel kleinere Systeme zu modellieren, genau wie Langevins Gleichungen .

Historisch

Hoogerbrugge und Koelman stellten 1992 erstmals die DPD-Gleichungen auf und präsentierten ein Beispiel für eine mit diesem Modell durchgeführte Simulation. Der Artikel blieb jedoch unklar über die theoretischen Grundlagen der Dynamik. Diese wurden 1995 von P. Español und P. Warren installiert. Diese theoretischen Grundlagen gaben einige Garantien, um die Konvergenz der numerischen Schätzungen mit den realen Werten der modellierten Systeme zu erhalten.

Das DPD-Modell ist ein isothermes Modell, dh es behält die durchschnittliche Temperatur des modellierten Systems bei. Letzteres muss daher a priori festgelegt werden. Wenn ein solches Modell zur Modellierung physikalischer Systeme im Gleichgewicht geeignet ist, ist es nicht mehr für Nichtgleichgewichts-Systeme geeignet, deren Temperatur a priori nicht bekannt sein kann . 1997 stellten Español, Mackie und Avalos unabhängig voneinander eine Variante der DPD vor, die Energie sparen und daher möglicherweise Systeme außerhalb des Gleichgewichts modellieren kann. Diese Variante wird als DPD-E , eDPD oder DPDE bezeichnet .

Gleichungen

Betrachten Sie ein System von Partikeln im Raum. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass alle diese Partikel die gleiche Masse haben . Sei die Menge der Positionen dieser Teilchen und ihre Momente. Das Moment eines Teilchens ist definiert als das Produkt seiner Masse und seiner Geschwindigkeit: Wo ist die Geschwindigkeit des Teilchens . Sei die Summe der konservativen Kräfte, die auf das Teilchen wirken , dh der Kräfte, die sich aus einer potentiellen Energie ergeben . $NICHT$ $m$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = mv_ {i}}$ $v_ {i}$ $ich$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$ $ich$

Die Gleichungen der Dynamik dissipativer Teilchen können in zwei Teile zerlegt werden. Der erste stammt aus Newtons Gleichungen und ist geschrieben (der Index bedeutet, dass wir die Größe des Partikels betrachten ): $ich$ $ich$

{\ displaystyle q_ {i} = {\ frac {p_ {i}} {m}} dt,}

{\ displaystyle p_ {i} = F_ {i} ^ {C} dt.}

Somit wird die Entwicklung der Momente durch die Kräfte beschrieben, die auf jedes Teilchen wirken, und die Ableitung der Position ist gleich der Geschwindigkeit.

Der zweite Teil wird als Fluktuations- / Dissipationsteil bezeichnet. Es handelt sich nur um die Momente, und umfasst zwei Kräfte und jeweils genannt dissipative Kräfte und zufällige Kräfte . Diese Kräfte sind im Gegensatz zu ihnen nicht konservativ , dh sie kommen nicht aus einem Potential. Dieser Teil ist geschrieben: ${\ displaystyle F_ {i} ^ {D}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {R}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$

{\ displaystyle p_ {i} = \ left (F_ {i} ^ {D} + F_ {i} ^ {R} \ right) dt.}

Die Summe der beiden vorhergehenden Gleichungen ermöglicht es, die Gleichungen der Dynamik dissipativer Teilchen zu schreiben:

{\ displaystyle q_ {i} = {\ frac {p_ {i}} {m}} dt,}

{\ displaystyle p_ {i} = \ left (F_ {i} ^ {C} + F_ {i} ^ {D} + F_ {i} ^ {R} \ right) dt.}

Die Form von hängt von der Wahl des verwendeten Potentials ab, und diese Wahl variiert je nach Art der Partikel. Bei der Verwendung von DPD verwenden wir in der Regel ein Potenzial des Formulars: ${\ displaystyle F ^ {C}}$

{\ displaystyle U (q) = \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} w (r_ {ij}),}

Wo ist der Abstand zwischen den Partikeln und und die Funktion wird geschrieben: ${\ displaystyle r_ {ij} = || q_ {i} -q_ {j} ||}$ $ich$ $j$ ${\ displaystyle w (r)}$

{\ displaystyle w (r) = a \ left (1 - {\ frac {r} {r_ {c}}} \ right) ^ {2}}

, wenn ,

{\ displaystyle r <r_ {c}}

{\ displaystyle w (r) = 0}

, wenn nicht.

Hier wird der Grenzradius genannt , dh der Radius, der den Bereich der Wechselwirkungen der konservativen Kräfte begrenzt. Die Kraft ist die Ableitung von in Bezug auf a , dies gibt ${\ displaystyle r_ {c}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$ $U (q)$ $q_ {i}$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {C} (q) = \ sum _ {j \ neq i} {\ frac {q_ {j} -q_ {i}} {r_ {ij} ^ {2}}} w ^ {'} (r_ {ij})}

Dissipationskräfte sind Reibungskräfte, d. H. Proportional zur Geschwindigkeit der Partikel. Wenn jedoch für die Langevin-Gleichung die Reibung proportional zur absoluten Geschwindigkeit des Partikels in DPD ist, um die galiläische Invarianz zu berücksichtigen, sind diese Reibungskräfte proportional zu den relativen Geschwindigkeiten der Partikel zwischen ihnen . Um den Umfang der Dissipationswechselwirkungen zu begrenzen, wird zusätzlich die oben dargestellte Begrenzungsfunktion hinzugefügt. und schließlich projizieren wir diese Kräfte entlang der Achse , die die Richtung vom Partikel zum Partikel definiert . So können wir schreiben: ${\ displaystyle F ^ {D}}$ $v_ {i}$ ${\ displaystyle v_ {ij} = v_ {i} -v_ {j}}$ ${\ displaystyle w (r_ {ij})}$ ${\ displaystyle e_ {ij} = {\ frac {q_ {j} -q_ {i}} {r_ {ij}}}$ $ich$ $j$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {D} = \ sum _ {j \ neq i} - \ gamma w (r_ {ij}) \ left (v_ {ij} \ cdot e_ {ij} \ right) e_ {ij }.}

Daher verbrauchen Partikel, die den Gesetzen der DPD folgen, keine Energie mehr, wenn ihre Gesamtgeschwindigkeit Null ist oder nicht, im Gegensatz zu Partikeln, die den Langevin-Gleichungen folgen.

Zufällige Kräfte werden unter Verwendung der Brownschen Bewegung erhalten . Ihre Reichweite ist auch durch die Funktion begrenzt , sie werden auch entlang der Achse projiziert und sie werden geschrieben: $w$ ${\ displaystyle e_ {ij}}$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {R} dt = \ sum _ {j \ neq i} \ sigma {\ sqrt {w (r_ {ij}) dt}} dW_ {ij, t} e_ {ij}.}

Es ist zu beachten, dass eine für jedes Partikelpaar spezifische Brownsche Bewegung verwendet wird . ${\ displaystyle W_ {ij, t}}$ $(i, j)$

Eigenschaften von DPD-Gleichungen

DPD-Gleichungen werden in der Molekularphysik verwendet, um komplexe Teilchen wie Polymere oder andere Makromoleküle zu modellieren, deren Simulation nicht einfach ist. Die durch die DPD-Gleichungen beschriebenen Systeme sind Systeme, die zur kanonischen Menge gehören , dh Systeme, für die die Temperatur , das Volumen und die Anzahl der Atome festgelegt sind. Die obige Behauptung ist jedoch immer noch nicht mathematisch gerechtfertigt. In der Tat wird gemäß den obigen Gleichungen ein Partikelsystem vollständig durch die Daten der Positionen und Momente seiner Partikel , Positionen und Momente beschrieben, die sich im Laufe der Zeit entwickeln und die Lösungen der Differentialgleichung unten sind. Gemäß der statistischen Physik gehört ein solches System jedoch zur kanonischen Menge, wenn seine Konfigurationen gemäß dem der kanonischen Menge entsprechenden Maß verteilt sind, ein Maß, das notiert wird und das gegeben ist durch: $T.$ $V.$ $NICHT$ ${\ displaystyle (q_ {t}, p_ {t})}$ ${\ displaystyle (q_ {t}, p_ {t})}$ $\ mu$

{\ displaystyle \ mu (\ mathrm {d} q, \ mathrm {d} p) = e ^ {- \ beta (U (q) + K (p))},}

Wo ist die potentielle Energie des Systems und ist seine mikroskopische kinetische Energie . $U (q)$ ${\ displaystyle K (p) = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2m}} p_ {i} ^ {2}}$

Digitale Integration

Für die DPD wurden mehrere Integrationsschemata entwickelt. Bisher fallen zwei Systeme auf:

Velocity-Verlet : Entwickelt im Jahr 2000 von Vattulainen et al. . Es ist inspiriert von dem gleichnamigen Schema, das für Newtons Gleichungen aus der Hamiltonschen Mechanik gilt . Im Gegensatz zur klassischen Mechanik liegt das auf die DPD angewendete Velocity-Verlet nicht in der zweiten, sondern in der ersten Ordnung und verliert darüber hinaus seine Symplektizitätseigenschaft.
Shardlow-Diagramm : Bisher das Diagramm mit den kleinsten numerischen Verzerrungen zu einem festgelegten Zeitschritt. Es führt eine "Aufteilung" der Gleichung in einen konservativen Teil und eine Summe von Elementargleichungen durch, die den Fluktuations- / Dissipationswechselwirkungen jedes Paares von DPD-Partikeln entsprechen. Elementare zufällige Wechselwirkungen sind in Wirklichkeit die Gleichungen eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses , die analytisch gelöst werden.

Bestehende Software

Einige Simulationssoftware, die (unter anderem) DPD-Simulationen durchführen kann:

CULGI : Chemistry Unified Language Interface, Culgi BV, Niederlande
DL_MESO : Open-Source-Software für die mesoskopische Simulation .
DPDmacs Freie Software, veröffentlicht unter der GNU GPL-Lizenz
ESPResSo : Erweiterbares Simulationspaket für die Erforschung von Systemen der weichen Materie - Open Source
Fluidix : Fluidix- Simulationssuite von OneZero Software.
GPIUTMD : Grafische Prozessoren für die Vielteilchendynamik
Gromacs-DPD : Modifizierte Version von Gromacs einschließlich DPD-Simulation.
HOOMD-Blau : Hochoptimierte objektorientierte Vielteilchendynamik - Blue Edition
LAMMPS Großer atomarer / molekularer massiv paralleler Simulator, Open Source, lizenziert unter der GNU GPL
Materials Studio : Modellierung und Simulation zur Untersuchung von Chemikalien und Materialien, Accelrys Software Inc.
SYMPLER : Eine Freeware SYMbolic ParticLE simulatoR von der Universität Freiburg.
SunlightDPD : Open-Source-Software (GPL) DPD.

Anmerkungen und Referenzen

(en) PJ Hoogerbrugge und JMVA Koelman , „ Simulation mikroskopischer hydrodynamischer Phänomene mit dissipativer Partikeldynamik “ , EPL (Europhysics Letters) , vol. 19,1 st Januar 1992, p. 155 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / 0295-5075 / 19/3/001 , online gelesen , abgerufen am 2. August 2016 )
(in) P. Español und P. Warren , " Statistical Mechanics of Dissipative Particle Dynamics " , EPL (Europhysics Letters) , vol. 30,1 st Januar 1995, p. 191 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / 0295-5075 / 30/4/001 , online gelesen , abgerufen am 2. August 2016 )
(in) P. Español , " Dissipative Partikeldynamik mit Energieeinsparung " , EPL (Europhysics Letters) , vol. 40,15. Dezember 1997( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i1997-00515-8 / meta , online gelesen , abgerufen am 4. August 2016 )
(in) J. Bonet Avalos und A. D. Mackie , " Dissipative Partikeldynamik mit Energieeinsparung " , Europhysics Letters (EPL) , vol. 40,15. Oktober 1997, p. 141–146 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i1997-00436-6 , online gelesen , abgerufen am 4. August 2016 )