Tensorkontraktion
In der multilinearen Algebra ist die Kontraktion ein Berechnungsprozess für Tensoren mit Dualität . In Koordinaten wird es auf sehr einfache Weise mit Einsteins Notationen dargestellt und besteht darin, eine Summe auf einem stillen Index zu bilden. Es ist möglich, einen eindeutigen Tensor des Ranges p in einen Tensor des Ranges p-2 zu kontrahieren , beispielsweise durch Berechnen der Spur einer Matrix. Es ist auch möglich, zwei Tensoren zusammenzuziehen, was den Begriff des Matrixprodukts verallgemeinert.
Kontraktion für ein paar Tensoren
Das einfachste Beispiel für eine Kontraktion ist der Dualitätshaken . Wenn E ein Vektorraum auf (oder ein beliebiges Feld K ) ist und wenn E * der duale Raum ist , dann ist die Kontraktion die bilineare KarteR.{\ displaystyle \ mathbb {R}}
⟨⋅,⋅⟩::E.∗×E.→R.{\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle \ Doppelpunkt E ^ {*} \ times E \ rightarrow \ mathbb {R}}gegeben durch
⟨beim~,b→⟩=beim~((b→){\ displaystyle \ langle {\ tilde {a}}, {\ vec {b}} \ rangle = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}.
In Komponenten wird eine solche Kontraktion geschrieben
beim~((b→)=beimγbγ{\ displaystyle {\ tilde {a}} ({\ vec {b}}) = a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma}}Dies ist nach Einsteins Summationskonventionen eine Abkürzung für die Summe
beimγbγ=∑ich=1nichtbeimichbich{\ displaystyle a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}dessen Ergebnis ist ein Skalar.
Die bilineare Form wird als Kronecker-Tensor bezeichnet und dort angegeben , wo sich der Raum der gemischten Tensoren befindet (einmal kovariant und einmal kontravariant). Also . In einer dualen Basis Basis (siehe kontra, kovarianten und Kovektor Vektor ), die Matrix von der Identitätsmatrix ist, wo die die Kronecker - Symbole sind: und wenn . Mit anderen Worten . Und wir finden gut . Die Einführung des Kronecker-Tensors reicht aus, um den intrinsischen Charakter der Kontraktion sicherzustellen.
⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle}δ∈T.11((E.){\ displaystyle \ delta \ in T_ {1} ^ {1} (E)}T.11((E.){\ displaystyle T_ {1} ^ {1} (E)}δ((beim~,b→)=beim~((b→){\ displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}((eich→)ich=1,...,nicht{\ displaystyle \ left ({\ vec {e_ {i}}} \ right) _ {i = 1, ..., n}}((eich)ich=1,...,nicht{\ displaystyle (e ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}δ{\ displaystyle \ delta}ich=[δjich]]{\ displaystyle I = [\ delta _ {j} ^ {i}]}δjich{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}δichich=1{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {i} = 1}δjich=0{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} = 0}ich≠j{\ displaystyle i \ neq j}δ=∑ich=1nichte→ich⊗eich{\ displaystyle \ delta = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} \ otimes e ^ {i}}δ((beim~,b→)=∑ich=1nichte→ich((beim~)eich((b→)=∑ich=1nichtbeimichbich{\ displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} ({\ tilde {a}}) e ^ {i} ({\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}
Verallgemeinerung: Kontraktion eines Tensors
Für ein einfaches Tensorprodukt der Ordnung ( m , n ), d. H. Von m Vektoren mit n linearen Formen, können wir jeden Vektor mit jeder linearen Form kontrahieren:
S.=x1⊗⋯⊗xm⊗y1⊗⋯⊗ynicht∈E.⊗m⊗E.∗⊗nicht{\ displaystyle S = x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n} \ in E ^ {\ otimes m} \ otimes E ^ {* \; \ otimes n}}
[S.]]jich=yj((xich)x1⊗⋯⊗xich- -1⊗xich+1⊗⋯⊗xm⊗y1⊗⋯⊗yj- -1⊗yj+1⊗⋯⊗ynicht{\ displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y ^ {j} (x_ {i}) \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i-1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ { nicht}}In Komponenten, wenn und , wird diese Kontraktion geschrieben:
yj≡y~j=yγje~γ{\ displaystyle y ^ {j} \ equiv {\ tilde {y}} ^ {j} = y _ {\ gamma} ^ {j} {\ tilde {e}} ^ {\ gamma}}xich≡x→ich=xichγe→γ{\ displaystyle x_ {i} \ equiv {\ vec {x}} _ {i} = x_ {i} ^ {\ gamma} {\ vec {e}} _ {\ gamma}}
[S.]]jich=yγjxichγx1⊗⋯⊗xich- -1⊗xich+1⊗⋯⊗xm⊗y1⊗⋯⊗yj- -1⊗yj+1⊗⋯⊗ynicht{\ displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y _ {\ gamma} ^ {j} x_ {i} ^ {\ gamma} \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i- 1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n}}und gibt einen Ordnungstensor .
((m- -1,nicht- -1){\ displaystyle (m-1, n-1)}
Diese Definition ist mit den Regeln zur Berechnung des Tensorprodukts kompatibel und erstreckt sich linear auf jeden Tensor T (endliche lineare Kombination einfacher Tensorprodukte wie S ).
Die praktische Berechnung in Komponenten wird durchgeführt, indem den beiden zu kontrahierenden Indizes die gleichen Werte gegeben werden, dann durch Summieren, während die anderen Indizes frei bleiben. Zum Beispiel für einen Tensor (2,2) in einem Raum der Dimension 4 ist eine der Kontraktionen mit Einsteins Summationskonvention :
T.γβαβ=T.γ0α0+T.γ1α1+T.γ2α2+T.γ3α3=U.γα{\ displaystyle T _ {\ gamma \ beta} ^ {\ alpha \ beta} = T _ {\ gamma 0} ^ {\ alpha 0} + T _ {\ gamma 1} ^ {\ alpha 1} + T _ { \ gamma 2} ^ {\ alpha 2} + T _ {\ gamma 3} ^ {\ alpha 3} = U _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}
Kontraktion einiger Tensoren
Eine Kontraktion eines Tensors T mit dem Tensor T ' ist eine Kontraktion ihres Tensorprodukts , die einen Index von T und einen Index von T' beinhaltet .
T.⊗T.'{\ displaystyle T \ otimes T '}
Somit können die Matrizen als Tensoren vom Typ (1,1) angesehen werden. Das Produkt P zweier Matrizen M und N ist eine Kontraktion
M.βαNICHTγβ=P.γα{\ displaystyle M _ {\ beta} ^ {\ alpha} N _ {\ gamma} ^ {\ beta} = P _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}.
Kontraktion mit einem metrischen Tensor
Die Kontraktion mit einem metrischen Tensor ermöglicht es, die Eigenschaften der Dualität zu erweitern. Das Ergebnis, das als Contraco-Transformation bezeichnet wird, ermöglicht es, die Indizes nach oben oder unten zu bewegen, dh kovariante Komponenten in kontravariante Komponenten umzuwandeln oder umgekehrt. Es ist dann möglich, neue Kontraktionen durchzuführen.
Beispielsweise wird in der Riemannschen Geometrie diese Möglichkeit verwendet, um den Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung aus dem Krümmungstensor zu definieren .
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