In der Mathematik ist die Galois-Kohomologie die Untersuchung der Wirkung einer Galois-Gruppe auf bestimmte Gruppen mit kohomologischen Methoden . Es ermöglicht es, Ergebnisse sowohl für die handelnde Galois-Gruppe als auch für die Gruppe zu erzielen, auf die sie einwirkt. Insbesondere die Galois - Gruppe einer Verlängerung der Zahlenfelder L / K wirkt natürlich zum Beispiel auf der multiplikativen Gruppe L × , sondern auch auf die Gruppe von Einheiten des Rings der ganzen Zahlen des Feldes L , oder auf seine Gruppenunterricht .
Der natürliche Rahmen für die Definition der untersuchten kohomologischen Komplexe ist abstrakter als der der Galois-Kohomologie im engeren Sinne : siehe Kohomologie profinitischer Gruppen .
Die derzeitige Formulierung der Galois-Kohomologie hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren mit der Arbeit von Claude Chevalley , die eine neue Formulierung, eine kohomologische Formulierung, der Theorie der Klassenfelder ermöglichte , insbesondere indem jeglicher Rückgriff auf L-Funktionen vermieden wurde . Der ehemalige Ergebnisse werden dann als kohomologische Ergebnisse interpretiert: der Satz Hilbert 90 , aus dem XIX - ten Jahrhundert zum Beispiel sieht die Aufhebung des ersten Kohomologiegruppe für die Wirkung einer Gruppe von zyklischen Galois auf Gruppen multiplikative der als overbody; und seine Verallgemeinerung durch Emmy Noether wird zur Verallgemeinerung dieser Tatsache für eine endliche Erweiterung. Kummers Theorie wird als Ergebnis der Dualität interpretiert.
Eine wichtige Frage in Bezug auf die Galois-Kohomologie ist die Erlangung eines möglichen lokal-globalen Prinzips . Chafarevichs Gruppen , die die Behinderung eines solchen Prinzips messen, sind noch wenig verstanden und bilden ein wichtiges Forschungsthema.
Chafarevich-Gruppen greifen im Rahmen elliptischer Kurven in die Formulierung der Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung ein .