Charakteristische Klasse

Eine charakteristische Klasse ist ein mathematisches Objekt, das insbesondere in der algebraischen Topologie und in der K-Theorie definiert und untersucht wird , um Vektorbündel zu unterscheiden . Solche Klassen werden heute als kohomologische Invarianten verstanden .

Motivation

Der Begriff der charakteristischen Klasse reagiert auf einen Klassifizierungsversuch. Genauer gesagt, wenn es sich um ein Vektorbündel handelt , ist eine charakteristische Klasse von eine Klasse in der Kohomologie der Basis, die die folgende Bedingung erfüllt, die als Kompatibilität bezeichnet wird: Für jede kontinuierliche Karte haben wir $\ pi: E \ rightarrow B.$ $\ pi$ $c (\ pi)$ $B.$ $f: B '\ rightarrow B.$

c (f ^ {*} (\ pi)) = f ^ {*} (c (\ pi))

wobei das Vektorbündel induziert auf durch . $f ^ {*} (\ pi)$ $B '$ $f$

Geschichte

Die charakteristische Klassentheorie hat ihre Wurzeln in der „ Obstruktionstheorie “. 1935 verteidigte Eduard Stiefel seine unter der Aufsicht von Heinz Hopf durchgeführte Doktorarbeit , in der er die „charakteristischen“ Homologieklassen studierte, die durch das Tangentenbündel einer glatten Mannigfaltigkeit bestimmt werden . Unabhängig davon studiert Hassler Whitney die Sphärenbündel und entwickelt die Sprache der Kohomologie , in der er den Begriff der charakteristischen Kohomologieklasse ausdrückt, die dann als Stiefel-Whitney-Klasse bezeichnet wird .

Im Jahr 1942 untersuchte Lev Pontryagin die Homologie von Grassmannschen Sorten mittels zellulärer Zersetzung, was ihn dazu veranlasste, einen neuen Begriff der charakteristischen Klasse vorzuschlagen, der heute Pontryagin-Klasse genannt wird .

1946 definierte Shiing-Shen Chern Klassen für komplexe Vektorbündel, wobei insbesondere gezeigt wurde, dass komplexe Grassmann-Mannigfaltigkeiten eine einfachere kohomologische Struktur aufweisen als echte Mannigfaltigkeiten, und führte zu Cherns Klassentheorie .

1952 führte René Thom den Begriff der Euler-Klasse für ein real orientiertes Vektorbündel ein, der die Euler-Eigenschaft verallgemeinert , indem die Euler-Klasse des Tangentenbündels einer Mannigfaltigkeit ihre Euler-Eigenschaft ist.

Beispiele

Chern-Klasse für komplexe Vektorbündel
Euler-Klasse
Pontryagin-Klasse für echte Bündel (sie werden aus den Chern-Klassen des komplexierten Bündels erstellt )
Klasse Segre (en)
Stiefel-Whitney-Klasse für echte Vektorbündel

Anmerkungen und Referenzen

(de) Eduard Stiefel , „ Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten “ , Kommentar. Mathematik. Helv. , Vol. 8, 1935-1936, p. 305-353 ( online lesen ).
(en) Lev Semenovich Pontryagin , " Charakteristische differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind Zyklen " , Math. Sb. , Vol. 63, n o 21947, p. 233-284.
(in) Shiing-Shen Chern , " Charakteristische Klassen hermitischer Mannigfaltigkeiten " , Annals of Mathematics , vol. 47,1946, p. 85-121 ( JSTOR 1969037 ).
René Thom , „ Räume fibrés in Kugeln und Quadraten von Steenrod “, Wissenschaftliche Annalen der École normale supérieure , vol. 69,1952.

(en) John Willard Milnor und James Stasheff , Charakteristische Klassen , Princeton University Press , Slg. "Annals of Mathematics Studies" ( n o 76)1974