Kreis von Mohr

Der Mohr Kreis ist eine grafische Darstellung der Zustände von Stress in zwei Dimensionen, die durch die geplanten Christian Otto Mohr in 1882 .

In einem Diagramm, in dem die horizontale Achse die Amplitude der Normalspannung und die vertikale Achse die Amplitude der Scherspannung darstellt , ist der Mohr-Kreis der Ort der Spannungszustände an einem Punkt P, wenn sich die Schnittebene um Punkt P dreht. Es ist ein Kreis, der auf der horizontalen Achse zentriert ist und dessen Schnittpunkte mit der horizontalen Achse den beiden Hauptbeschränkungen am Punkt P entsprechen.

Dieser Kreis basiert auf der Kenntnis der äußeren Kräfte, denen das Teil ausgesetzt ist. Es ermöglicht zu bestimmen:

die Hauptrichtungen sowie die Hauptspannungen σ I , σ II und σ III ; $({\ vec {x}} _ {{\ mathrm {I}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm {II}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm { III}}})$
die Richtung, für die wir die maximale Spaltung τ haben, die daher die wahrscheinliche Versagensrichtung (die Ausrichtung der Versagensfazies ) ist, sowie den Wert dieser Spannung.

Problematisch

Grafische Darstellung des Spannungszustands

Der Mohrsche Kreis ist eine grafische Darstellung des Spannungszustands. Es ermöglicht eine grafische Auflösung der Validierung im endgültigen Grenzzustand gemäß dem Tresca-Kriterium (maximale Auflösung). Es ist daher eine schnelle Methode und erfordert im Vergleich zur Behandlung des Tensors der Spannungen nur wenige Berechnungsmittel, weist jedoch eine durch das Layout begrenzte Präzision auf.

Beachten Sie, dass der Mohr-Kreis den Spannungszustand an einem bestimmten Punkt darstellt.

Suche nach maximaler Spaltung

Der Bruch eines duktilen Materials - dies ist bei den meisten Metallen bei Raumtemperatur für moderate Dehnungsraten der Fall - tritt immer bei Scherung auf : Die Kraft, die erforderlich ist, um die Atome "abzureißen", ist viel größer als die, die erforderlich ist, um Atome darauf zu gleiten einander (siehe Plastische Verformung ). Für eine gegebene Beanspruchung eines Teils ist es daher notwendig zu wissen, in welchem Abschnitt die Spaltung τ (tau) maximal ist.

Nehmen wir den Fall einer einfachen oder einachsigen Traktion an einer zylindrischen Probe. Es ist bekannt, dass während dieses Tests die Bruchfazies beginnen, wenn sie in einem Winkel von 45 ° relativ zur Achse der Probe ausgerichtet sind. Wenn wir einen Querschnitt des Teststücks betrachten, hat es eine Fläche S 0 ; Die Kraft F, die man anwendet, ist normal zu diesem Abschnitt, man hat also eine normale Spannung σ 0, die wert ist:

\ sigma _ {0} = {\ frac {{\ mathrm {F}}} {{\ mathrm {S}} _ {0}}}

und Null Scherung.

Betrachten Sie einen Abschnitt, der in einem Winkel zum ursprünglichen Abschnitt geneigt ist . es hat eine Fläche . Wenn man die Kraft auf die Normale auf diesen Abschnitt projiziert , erhält man eine normale Modulkraft . Die Normalspannung σ 1 ist dann wert: $\ Theta$ ${\ displaystyle S_ {1} = {\ frac {S_ {0}} {\ cos (\ theta)}}}$ ${\ vec {\ mathrm {F}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {{\ mathrm {N}}}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {F}} \ cos (\ theta)}$

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ frac {\ mathrm {N} _ {1}} {\ mathrm {S} _ {1}}} = \ cos (\ theta) ^ {2} \ sigma _ {0} = {\ frac {1+ \ cos (2 \ theta)} {2}} \ sigma _ {0}}

Wenn man auf den Abschnitt projiziert , erhält man eine Modulkraft . Die Spaltung τ 1 ist dann wert: ${\ vec {\ mathrm {F}}}$ ${\ vec {{\ mathrm {T}}}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {F}} \ sin (\ theta)}$

{\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {1}} {\ mathrm {S} _ {1}}} = \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ Sigma _ {0} = {\ frac {\ sin (2 \ theta)} {2}} \ Sigma _ {0}}

Je geneigter der Abschnitt ist, desto größer ist T, aber desto größer ist S. Das Verhältnis τ = T / S stellt ein Maximum für einen Abschnitt dar, der sich bei 45 ° befindet , was die Versagensfazies erklärt.

Wenn wir nun die parametrisierte Kurve (σ, τ) zeichnen, wenn sie variiert, sehen wir, dass wir einen Kreis mit einem Durchmesser erhalten , der durch den Ursprung verläuft, den Mohr-Kreis. $\ Theta$ $\ sigma _ {0}$

Die Frakturfazies bei den einachsigen Tests (Traktion oder Kompression) unterstreichen diese Richtung der maximalen Spaltung bei 45 °.

Zugversagen einer Aluminiumprobe mit 8 mm Durchmesser und einer Bruchebene von 45 °
Zugversagen einer Stahlprobe mit rechteckigem Querschnitt 10 mm × 3 mm mit einer Bruchebene bei 45 °
Kompressionsversagen einer Betonprobe; Die Bruchebene liegt aufgrund der intergranularen Reibung nicht bei 45 °

Zeichnen des Kreises für Ebenenbeschränkungen

Allgemeiner Fall

Betrachten Sie einen Punkt P eines Festkörpers mit einem ebenen Spannungszustand. Dies ist typischerweise ein Punkt auf der Oberfläche eines Teils, an dem keine äußere Kraft ausgeübt wird: kein hydrostatischer Druck, kein Kontakt mit einem anderen Teil (freie Oberfläche).

Wir nehmen hier an, dass man sich in der Ebene ( x , y ) in einem Zustand ebener Spannungen befindet . Der Tensor der Spannungen ist somit symmetrisch und von der Form

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {{x}} & \ tau _ {{xy}} & 0 \\ & \ sigma _ {{y} } & 0 \\ && 0 \ end {pmatrix}}

mit:

σ x : normale Spannung auf der Fläche senkrecht zur x- Achse ;
σ y : normale Spannung auf der Fläche senkrecht zur y- Achse ;
τ xy : Scherspannung auf der Fläche senkrecht zur z-Achse.

Betrachten Sie einen Einheitsvektor in der Ebene ( x , y ). Die in P auf eine Fläche senkrecht zu diesem Vektor ausgeübte Spannung beträgt . Es lässt eine kollineare Komponente zu und eine orthogonale Komponente zu . Die Menge der Paare, wenn sie sich in der ( x , y ) -Ebene dreht , beschreibt einen Kreis, der der gesuchte Mohr-Kreis ist. Dieser Kreis lässt für den Durchmesser das Segment [AB] zu, in dem: ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {n})}$ ${\ vec {n}}$

Punkt A beschreibt die Spannungen im Gesicht senkrecht zu x . Seine Koordinaten sind (σ x , τ xy );
Punkt B beschreibt die Spannungen im Gesicht senkrecht zu y . Seine Koordinaten sind (σ y , -τ xy ).

das erlaubt es einfach zu bauen. Die Eigenschaften dieses Kreises sind wie folgt:

Der Kreis hat daher zum Mittelpunkt den Mittelpunkt von [AB], Abszisse C z = (σ x + σ y ) / 2. Wenn A und B nicht auf der horizontalen Achse liegen, befindet sich der Mittelpunkt am Schnittpunkt von [AB] und der σ n -Achse .
Der Radius des Kreises ist gleich : und dieser Radius ist gleich der maximalen Spaltung τ max . ${\ mathrm {R}} _ {z} = {\ frac {{\ mathrm {AB}}} {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} \ right) ^ {2} + \ tau _ {{xy}} ^ {2}}}$
Die Abszissen der Schnittpunkte des Kreises mit der Achse sind gültig und entsprechen den Hauptspannungen und . ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} \ pm R_ {z}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {I}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {II}}}$
Wenn wir die Einschränkungen kennen wollen, die sich auf einen Vektor beziehen , der einen Winkel θ mit der x- Achse in der ( x , y ) -Ebene bildet , müssen wir die Koordinaten des Punktes C nehmen, der sich in einem Winkel -2θ des Punktes A auf dem Kreis befindet (dh der Winkel ist -2θ). ${\ vec {n}}$ $(\ overrightarrow {{\ mathrm {OA}}}, \ overrightarrow {{\ mathrm {OC}}})$
Wenn wir nennen -2θ p den Winkel aus der Horizontalen mit dem Punkt A (dh ), der erste Hauptrichtung durch den Vektor gegeben ist , die einen Winkel θ bildet p mit der x- Achse ist die zweite Hauptrichtung zu ihm senkrecht ist . Die Achse & sgr; n entspricht diesen Hauptrichtungen und die Achse & tgr; n repräsentiert die Richtungen der maximalen Spaltung; Die geometrischen Achsen x und y werden durch den Durchmesser [AB] dargestellt. $(\ overrightarrow {{\ mathrm {OA}}}, \ sigma _ {{\ mathrm {n}}}) = - 2 \ theta _ {{\ mathrm {p}}}$ ${\ vec {n}}$

Demonstration

Sei die Komponente des Vektors in der Ebene ( x , y ). Die Komponenten in derselben Ebene sind . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) \\\ sin (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) \ sigma _ {x} + \ sin (\ theta) \ tau _ {xy} \\\ cos (\ theta) \ tau _ {xy} + \ sin (\ theta) \ sigma _ {y} \ end {pmatrix}}}$

Die Komponente dieses Vektors gemäß dem Vektor ist gleich seinem Skalarprodukt durch : ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ vec {n}} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}} = \ cos (\ theta) ^ {2 } \ sigma _ {x} +2 \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ tau _ {xy} + \ sin (\ theta) ^ {2} \ sigma _ {y} = {\ frac {\ Sigma _ {x} + \ Sigma _ {y}} {2}} + \ cos (2 \ Theta) {\ frac {\ Sigma _ {x} - \ Sigma _ {y}} {2}} + \ sin (2 \ theta) \ tau _ {xy}}

Seine Komponente orthogonal zu ist gleich dem Punktprodukt des Vektors der Komponenten , der direkt orthogonal zu ist , was ergibt: ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ tau _ {n} = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x}) - \ sin (\ theta) ^ {2} \ tau _ {xy} + \ cos (\ theta) ^ {2} \ tau _ {xy} = \ sin (2 \ theta) {\ frac {\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x}} {2} } + \ cos (2 \ theta) \ tau _ {xy}}

Wir bekommen Punkt A für und Punkt B für . ${\ displaystyle \ theta = 0 \; {\ rm {mod}} \; \ pi}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$

Sei und sei der Winkel so, dass und . Wir erhalten dann: ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {z} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} \ right) ^ {2} + \ tau _ {xy} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2 \ mathrm {R} _ {z}}} }}$ ${\ displaystyle \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ tau _ {xy}} {\ mathrm {R} _ {z}}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ mathrm {R} _ {z} (\ cos (2 \ theta) \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) + \ sin (2 \ theta) \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ mathrm {R} _ {z} \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}} - 2 \ theta)}

{\ displaystyle \ tau _ {n} = \ mathrm {R} _ {z} (- \ sin (2 \ theta) \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) + \ cos (2 \ theta) ) \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}})) = \ mathrm {R} _ {z} \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}} - 2 \ theta)}

Es ist daher ersichtlich, dass der Koordinatenpunkt bei Abweichungen den Kreis mit dem Mittelpunkt O der Koordinaten und dem Radius beschreibt . [AB] ist einer der Durchmesser und der Winkel . $\ Theta$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {n})}$ ${\ displaystyle ({\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}}, 0)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {z}}$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}}})}$

Die wichtigsten Einschränkungen sind die Eigenwerte von sind und Wurzeln des charakteristischen Polynoms . Diese beiden Wurzeln sind gut . Wir bekommen sie in den Mohrkreis für . ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}}}$ ${\ displaystyle (X- \ sigma _ {x}) (X- \ sigma _ {y}) - \ tau _ {xy} ^ {2} = X ^ {2} - (\ sigma _ {x} + \ Sigma _ {y}) X + \ Sigma _ {x} \ Sigma _ {y} - \ tau _ {xy} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} \ pm \ mathrm {R} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {\ rm {P}} \; {\ rm {mod}} \; {\ frac {\ pi} {2}}}$

Zweiachsiger Stress

Der allgemeine Fall wird vereinfacht, wenn die Achsen x und y des Koordinatensystems so gewählt werden, dass sie die Hauptrichtungen des Spannungstensors am Punkt P sind. In diesem Fall ist Null und der Spannungszustand wird als zweiachsig bezeichnet. Dies kann typischerweise ein Punkt im Freien eines Drucktanks oder ein Punkt auf einem Blech sein, der zwei Kraftpaaren senkrecht in der Ebene des Blechs ausgesetzt ist. ${\ displaystyle \ tau _ {xy}}$

Die Ergebnisse des vorherigen Absatzes werden wie folgt vereinfacht:

Der Kreis lässt für den Durchmesser die Koordinatenpunkte (σ x , 0) und (σ y , 0) zu.
der Mittelpunkt des Kreises hat die Abszisse (σ x + σ y ) / 2;
Der Radius des Mohr-Kreises, der der maximalen Spaltung entspricht, beträgt (σ x - σ y ) / 2 (unter der Annahme, dass σ x größer als σ y ist ). Beachten Sie, dass σ x oder σ y negativ sein können.

Es ist zu beachten, dass der Kreis im Fall σ x = - σ y am Ursprung zentriert ist und mit dem Kreis identisch ist, der im Fall einer reinen Scherung mit einer nominalen Spaltung gleich σ x erhalten wird . Der mechanische Zustand ist daher identisch, und wenn das Material isotrop ist, ist der Zustand des Materials identisch, nur die Orientierung ändert sich.

Einachsiger Stress

Wenn und , bekommen wir einen einachsigen Spannungszustand. Dies sind typischerweise: ${\ displaystyle \ tau _ {xy} = 0}$ $\ sigma _ {y} = 0$

von jedem Punkt eines geradlinigen Teils ( Trägers ), der in der Achse unter Spannung oder Druck steht (Paar gleicher und entgegengesetzter kollinearer Kräfte): Zugstange, Pleuel, Träger eines Fachwerks , einer Zug- oder Druckprobe ; wir nennen x die Kraftachse;
von jedem Punkt eines geradlinigen Teils beim reinen Biegen (zentraler Teil eines 4-Punkt- Biegens ); wir nennen x die Achse des Teils;
von jedem Punkt der oberen oder unteren Oberfläche eines Trägers in Einzelbiegung (3-Punkt-Biegung).

Dies ist der Fall bei dem Beispiel, das im Abschnitt Suchen nach der maximalen Spaltung behandelt wird . Wir finden die im vorherigen Absatz angegebenen Ergebnisse mit : $\ sigma _ {y} = 0$

Der Mohr-Kreis lässt für den Durchmesser die Koordinatenpunkte (0,0) und (σ x , 0) zu.
Es ist daher tangential zur Achse τ n . Es befindet sich bei Traktion auf der Seite von σ n positiv und bei Kompression auf der Seite von σ n negativ.
Sein Zentrum liegt am Punkt der Abszisse C z = σ x / 2.
Sein Radius, der der maximalen Scherung entspricht, ist τ max = R z = σ x / 2 wert (oder sein absoluter Wert, wenn σ x negativ ist).

Reine Scherung

Reine Scherung tritt auf, wenn der Spannungstensor so ist, dass σ x = σ y = 0 und τ xy nicht Null ist. Es handelt sich um ein Torsionsrohr oder um ein geschertes Teil, jedoch nur in der Ebene mit der neutralen Faser (das einfache Scheren geht mit einer leichten Biegung einher).

Mohrs Kreis überprüft dann:

Sein Zentrum ist der Ursprung, C z = 0.
Die maximale Scherspannung, die ihrem Radius entspricht, ist auch die nominelle Spaltung τ xy : τ max = R z = τ xy .
Die Hauptrichtungen sind die Winkelhalbierenden der Referenz ( x , y ) (gerade Linie bei 45 ° im realen Raum) mit σ I = -σ II = τ xy .

Zeichnen des Kreises für dreiachsige Lasten

Vereinfachter Fall

Der Spannungszustand am Punkt P wird als dreiachsig bezeichnet, wenn der Spannungstensor diagonal ist, mit diagonalen Termen ungleich Null. Es ist typischerweise ein Punkt auf einem Feststoff, der einem hydrostatischen oder lithosatischen Druck sowie einer Traktion oder Kompression ausgesetzt ist . Der dreiachsige Test ist ein Test, der an Böden durchgeführt wird ( geotechnisch ).

Der Tensor der Spannungen hat die Form

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {x} & 0 & 0 \\ & \ sigma _ {y} & 0 \\ && \ sigma _ {z } \ end {pmatrix}}

und wir nehmen an, dass σ x ≥ σ y ≥ σ z ist . Wenn man eine normale Oberfläche betrachtet , sind die Vektorbeschränkungen wert ${\ vec {n}} (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})$

{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}} = {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \; {\ vec {n}} = {\ begin {pmatrix } \ sigma _ {x} n_ {x} \\\ sigma _ {y} n_ {y} \\\ sigma _ {z} n_ {z} \ end {pmatrix}}}

mit als Komponenten:

die normale Spannung ist die Komponente gemäß dem Vektor : ; $\ sigma$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}} = {\ vec {n}} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \; {\ vec {n}} = \ sigma _ {x} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ { z} n_ {z} ^ {2}}$
Die Tangentialkomponente wird durch den Satz von Pythagoras erhalten : entweder . $\ tau$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {\ mathrm {T}}} ({\ vec {n}}) \ | ^ {2} = \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}$ $\ sigma _ {x} ^ {2} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} ^ {2} n_ { z} ^ {2} = \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}$

Wenn wir die Tatsache hinzufügen, dass der Vektor ein Einheitsvektor ist, haben wir ein System von drei Gleichungen, von denen wir annehmen werden, dass die drei Unbekannten n x 2 , n y 2 und n z 2 sind : ${\ vec {n}}$

\ left \ {{\ begin {align} n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ & 1 \\\ sigma _ {x} n_ { x} ^ {2} + \ sigma _ {y} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} n_ {z} ^ {2} = \ & \ sigma \\\ sigma _ {x} ^ {2} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} ^ {2} n_ {z} ^ {2} = \ & \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \\\ end {align}} \ right.

deren Determinante wert ist ( Vandermonde-Matrix ):

{\ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ Sigma _ {x} & \ Sigma _ {y} & \ Sigma _ {z} \\\ Sigma _ {x} ^ {2} & \ Sigma _ { y} ^ {2} & \ sigma _ {z} ^ {2} \\\ end {vmatrix}} = (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {y} - \ Sigma _ {z}) (\ Sigma _ {z} - \ Sigma _ {x})

Die Auflösung dieses Systems ( Cramer-Regel ) ergibt:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} n_ {x} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {y}) (\ sigma - \ sigma _ {z})} {(\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {z})}} \\ n_ {y} ^ {2 } = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {z}) (\ sigma - \ sigma _ {x})} {(\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x})}} \\ n_ {z} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ Sigma _ {x}) (\ sigma - \ sigma _ {y})} {(\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {y})} } \\\ end {align}} \ right.}

Lassen Sie uns posieren:

C x = ( & sgr ; y + & sgr; z ) / 2, R x = ( & sgr ; y - & sgr; z ) / 2;
C y = ( & sgr ; x + & sgr; z ) / 2, R y = ( & sgr ; x - & sgr; z ) / 2;
C z = ( & sgr ; x + & sgr; y ) / 2, R z = ( & sgr; x - & sgr; y ) / 2.

Das System entspricht dann:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} n_ {x} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {x}) ^ {2} -R_ {x} ^ {2}} {(\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {z})}} \\ n_ {y} ^ {2 } = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {y}) ^ {2} -R_ {y} ^ {2}} {(\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x})}} \\ n_ {z} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {z}) ^ {2} -R_ {z} ^ {2}} {(\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {y})} } \\\ end {align}} \ right.}

Unter Berücksichtigung der Vorzeichen der Nenner (das der zweiten Gleichung ist negativ, während die anderen beiden positiv sind) und der Tatsache, dass die Mitglieder der Gleichungen positiv oder Nullquadrate sind, leiten wir die drei Ungleichungen ab:

\ left \ {{\ begin {align} \ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{x}) ^ {2} \ geqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {x} ^ {2} \\\ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{y}) ^ {2} \ leqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {y} ^ {2} \\\ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{z}) ^ {2} \ geqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {z} ^ {2} \\\ end {align}} \ right.

In der Ebene (σ, τ) sind die Darstellungen der Lösungen der Gleichungen τ 2 + (σ - C i ) 2 = R i 2 Kreise mit Mittelpunkt C i und Radius R i . Daher ist der Wertesatz (σ, τ) für alle möglichen Orientierungen von eine durch drei Kreise begrenzte Oberfläche. ${\ vec {n}}$

Diese Figur heißt "Mohrs Dreikreis", sowohl weil es sich um drei Mohrkreise handelt, als auch weil sie den Arbelos ähnelt , einer Form, die unter anderem vom Namensvetter Georg Mohr untersucht wurde .

Jeder der Kreise ist der Kreis, den wir hätten, wenn wir in einen Kontext von zweiachsigen Zwängen (σ y , σ z ), (σ x , σ z ) und (σ x , σ y ) gestellt würden. Um den Dreikreis zu zeichnen, der σ x , σ y und σ z kennt , verweisen wir daher auf die vorherigen Fälle.

Wir bemerken, dass alle Kreise zwei mal zwei tangieren und dass der größte Kreis der Kreis mit dem Radius R y ist , der daher der Ebene ( x , z ) entspricht. Die maximale Spaltung beträgt daher

τ max = R y = (σ x - σ z ) / 2.

Verallgemeinerung

Der dreiachsige Spannungszustand ist in der Tat der allgemeine Zustand: Wenn es einen Spannungstensor gibt, von dem keine Komponente Null ist

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {x} & \ tau _ {{xy}} & \ tau _ {{xz}} \\ & \ sigma _ {y} & \ tau _ {{yz}} \\ && \ sigma _ {z} \ end {pmatrix}}

wir wissen, dass es ein orthonormales Koordinatensystem gibt, das Hauptkoordinatensystem, in dem der Tensor die Form hat

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {{{\ mathrm {I}}}} & 0 & 0 \\ & \ sigma _ {{{\ mathrm {II}}}} & 0 \\ && \ sigma _ {{{\ mathrm {III}}} \ end {pmatrix}}

das bringt uns zurück zum vorherigen Fall.

Der dreiachsige Spannungszustand kann von einer komplexen Belastung herrühren, aber auch ganz einfach von der Form des Teils. Beispielsweise zeigt eine gekerbte Probe, die für einen Charpy-Test verwendet wird, einen dreiachsigen Spannungszustand am Kerbboden, wenn sie nur gebogen wird.

Entarteter Fall

Betrachten Sie den Fall, in dem σ II = σ III ist . Wir haben :

C I = σ II , R I = 0;
C II = C III = (σ I + σ II ) / 2;
R II = R III = (σ I - σ II ) / 2.

Wir sehen, dass der Kreis I auf einen Punkt reduziert ist und dass die Kreise II und III verwirrt sind. Wir haben also nur einen Kreis, der mit dem zweiachsigen Fall identisch ist.

Wenn die drei Haupteinschränkungen gleich sind, reduziert sich dieser Kreis auf einen Punkt.

Andere Mohr-Kreise

Ebenso können wir zeichnen:

ein Mohr-Kreis der Verformungen;
im Kontext der Plattentheorie ein Mohr-Momentenkreis.

Mohr-Verformungskreis

Wir erhalten den Mohr-Kreis der Verformungen durch Auftragen des Diagramms (ε ii , ε ij ) i ≠ j oder, wenn wir die Abweichung im rechten Winkel γ ij bevorzugen , des Diagramms (ε ii , ½γ ij ) i ≠ j .

Die horizontale Achse des Kreises ε repräsentiert die Hauptrichtungen. Die vertikale Achse ½γ repräsentiert die maximalen Schlupfwinkelrichtungen.

Dieser Mohr-Kreis ist in der Extensometrie sehr nützlich, um die Ergebnisse einer Rosette von Dehnungsmessstreifen zu analysieren .

Mohrs Momentenkreis

Stellen Sie sich eine rechteckige dünne Platte vor, die zwei gleichmäßig verteilten linearen Momenten ausgesetzt ist: M x entlang ihrer Seite parallel zur x- Achse und M y entlang ihrer Seite parallel zur y- Achse . Diese linearen Momente haben für die Einheit den Newton (N m / m). Dies sind Biegemomente (sie erzeugen Biegungen ).

Wenn wir einen Schnitt entlang einer Ebene machen, die einen Winkel α um die z-Achse bildet, sehen wir, dass diese Fläche ein Biegemoment erfährt, das die Fläche krümmt, und ein Torsionsmoment , das sie neigt. Indem wir das Gleichgewicht dieses Plattenabschnitts schreiben, sehen wir, dass das auf die Schnittfläche ausgeübte Moment in ein Vektornormalmoment m nn , das die Torsion erzeugt (der Abschnitt dreht sich in der Ebene), und ein Tangentialmoment zerlegt werden kann Vektor m nt, der die Biegung erzeugt (die Platte ist gekrümmt). Wir befinden uns in einer ähnlichen Situation wie normale und tangentiale Spannungen.

Wir können also ein Diagramm ( m nn , m nt ) zeichnen und erhalten einen Kreis. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Achse m n ergeben die Hauptabschnitte, dh die Abschnitte, auf denen das Drehmoment Null ist.