Stochastischer Kalkül
Die stochastische Berechnung ist die Untersuchung zufälliger zeitabhängiger Phänomene. Als solches ist es eine Erweiterung der Wahrscheinlichkeitstheorie . Nicht zu verwechseln mit der Technik der stochastischen Taschenrechner .
Anwendungen
Der Bereich der stochastischen Analysis umfasst Quantenmechanik , Signalverarbeitung , Chemie , Finanzmathematik , Meteorologie und sogar Musik .
Zufällige Prozesse
Ein zufälliger Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen, die durch eine Teilmenge von oder indiziert sind und häufig der Zeit gleichgestellt werden (siehe auch Stochastischer Prozess ). Es ist eine Funktion von zwei Variablen: Zeit und Zustand des Universums . Die Menge der Zustände des Universums wird traditionell notiert . Die Anwendung, die einem festen Mitarbeiter , einer Variablen, zugeordnet ist, wird als Trajektorie des Prozesses bezeichnet. Es ist eine einfache Funktion der Zeit (ohne Zufälligkeit), die die besondere Realisierung des Prozesses unter dem Auftreten darstellt .
X.{\ displaystyle X}R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}NICHT{\ displaystyle \ mathbb {N}} ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}ω{\ displaystyle \ omega}X.((ω,t){\ displaystyle X (\ omega, t)}t{\ displaystyle t}ω{\ displaystyle \ omega}
Für eine gegebene ist eine einfache Zufallsvariable, deren genauer Wert nur in t bekannt ist. Die Brownsche Bewegung ist ein besonders einfaches Beispiel für einen indizierten Zufallsprozess . Es kann als der eindeutige Gaußsche Inkrementalprozess definiert werden, so dass die Kovarianz zwischen und entweder . Wir können es auch als die Grenze eines zufälligen Spaziergangs sehen, wenn der Zeitschritt gegen 0 tendiert.
t{\ displaystyle t}X.((ω,t){\ displaystyle X (\ omega, t)}R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}W.t{\ displaystyle W_ {t}}W.t{\ displaystyle W_ {t}}W.s{\ displaystyle W_ {s}}Mindest((t,s){\ displaystyle \ min (t, s)}
Filtration
Eine Filtration , ist eine Familie von verschachtelten Unter Stämmen von , die als die zur Verfügung stehenden Informationen , die im Laufe der Zeit entwickelt interpretiert werden kann. Eine Filtration ist also eine Familie von Sigma-Algebren, die nach der Zeit indiziert sind, z. B. wenn , was die Zunahme der verfügbaren Informationen widerspiegelt.
F.t{\ displaystyle F_ {t}}t∈NICHT{\ displaystyle t \ in \ mathbb {N}}Ω{\ displaystyle \ Omega}t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}F.s⊂F.t{\ displaystyle F_ {s} \ subset F_ {t}}s≤t{\ displaystyle s \ leq t}
Bedingte Erwartung nach Filtration
Es ist ein Prozess
Der nach seinem Erfinder Kiyoshi Itō benannte Itō-Prozess befasst sich mit mathematischen Operationen in einem stochastischen Prozess. Das wichtigste ist das stochastische Integral von Itō.
Es ist ein integraler Bestandteil
Geben Sie vor der Berechnung Folgendes an:
- Großbuchstaben wie Zufallsvariablen;X.{\ displaystyle X}
- Großbuchstaben mit einem Index von eins (zum Beispiel ) bezeichnen einen stochastischen Prozess, bei dem es sich um eine Familie von Zufallsvariablen handelt, die durch indiziert sind .t{\ displaystyle t}B.t{\ displaystyle B_ {t}}t{\ displaystyle t}
- Eine kleine Linke eines Prozesses (zum Beispiel ) bedeutet eine infinitesimale Änderung des Zufallsprozesses, bei der es sich um eine Zufallsvariable handelt.d{\ displaystyle \ mathrm {d}}dB.t{\ displaystyle \ mathrm {d} B_ {t}}
Das stochastische Integral eines Prozesses in Bezug auf einen Prozess wird durch das Integral beschrieben:
X.t{\ displaystyle X_ {t}}B.t{\ displaystyle B_ {t}}
∫beimbX.tdB.t{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} X_ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t}}
und ist definiert als die quadratische mittlere Grenze der entsprechenden Summen der Form:
∑X.tich((B.tich+1- -B.tich).{\ displaystyle \ sum X_ {t_ {i}} (B_ {t_ {i + 1}} - B_ {t_ {i}}).}
Ein wesentlicher Punkt, der mit diesem Integral verbunden ist, ist Itôs Lemma .
Die Summe als Produkt von Zufallsvariablen ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie definiert. Die Summe beinhaltet eine Faltung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, und die Multiplikation ist eine wiederholte Addition.
Definition eines Itô-Prozesses
Sobald die für ein stochastisches Integral gewählte Definition festgelegt wurde, definieren wir einen Itô-Prozess als einen stochastischen Prozess der Form:
X.t{\ displaystyle X_ {t}}
X.t((ω)=X.0((ω)+∫0tus((ω)ds+∫0t((vsdB.s)((ω){\ displaystyle X_ {t} (\ omega) = X_ {0} (\ omega) + \ int _ {0} ^ {t} u_ {s} (\ omega) {\ rm {d}} s + \ int _ {0} ^ {t} (v_ {s} {\ rm {d}} B_ {s}) (\ omega)}
mit und zwei Zufallsfunktionen, die einige technische Annahmen zur Anpassung an den Prozess erfüllen und eine Realisierung im zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum darstellen.
u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}B.t{\ displaystyle B_ {t}}ω{\ displaystyle \ omega}
Im Formalismus der Differentialrechnung mit der Itô-Vorschrift stellen wir in gleicher Weise die vorstehende Beziehung fest als:
dX.t=utdt+vtdB.t{\ displaystyle {\ rm {d}} X_ {t} = u_ {t} \, {\ rm {d}} t + v_ {t} \, {\ rm {d}} B_ {t}}
Verschreibung von Stratonovich
Ein weiteres bemerkenswertes Rezept zur Definition eines stochastischen Integrals ist das Stratonovich-Rezept. Das Stratonovich-Integral ist definiert als die Grenze diskreter Summen:
∑X.tich+tich+12((B.tich+1- -B.tich).{\ displaystyle \ sum X _ {\ frac {t_ {i} + t_ {i + 1}} {2}} (B_ {t_ {i + 1}} - B_ {t_ {i}}).}
Der bemerkenswerte Unterschied zum Itô-Rezept besteht darin, dass die Menge im Sinne der Wahrscheinlichkeiten der Variablen nicht unabhängig ist . Im Gegensatz zu Itôs Rezept haben wir also in Stratonovichs Rezept:
X.((tich+tich+1)/.2{\ displaystyle X _ {(t_ {i} + t_ {i + 1}) / 2}}B.tich+1- -B.tich{\ displaystyle B_ {t_ {i + 1}} - B_ {t_ {i}}}
E.[∫beimbX.tdB.t]]≠0{\ displaystyle E \ left [\ int _ {a} ^ {b} X_ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t} \ right] \ neq 0}
Dies erschwert unter diesem Gesichtspunkt bestimmte Berechnungen. Die Verwendung der Stratonovich-Vorschrift wählt jedoch keine bevorzugte Zeitrichtung im Gegensatz zu der von Itô, was impliziert, dass die durch das Stratonovich-Integral definierten stochastischen Prozesse zweidimensionale stochastische Differentialgleichungen erfüllen, die durch Zeitumkehrung unveränderlich sind. Aus diesem Grund wird dieses Rezept häufig in der statistischen Physik verwendet .
Es sollte jedoch beachtet werden, dass es möglich ist, von einer Verschreibung zur anderen zu wechseln, indem Änderungen an einfachen Variablen vorgenommen werden, wodurch diese gleichwertig werden. Die Wahl der Verschreibung ist daher eine Frage der Bequemlichkeit.
Übliche Prozesse
Exponentielle Martingale
Wiener Integral
Bezeichnen Sie die Brownsche Bewegung (MB) mit und das Wiener Integral mit .
{B.t}}t∈T.{\ displaystyle \ {B_ {t} \} _ {t \ in T}}∫beimb((.)dB.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (.) \ mathrm {d} B}
Wir sagen, dass eine Funktion eine Treppenfunktion ist (daher dicht in ), wenn es eine Unterteilung von gibt und wenn sie so existiert , dass:
h::[beim,b]]→R.{\ displaystyle h: [a, b] \ to \ mathbb {R}}L.2(([beim,b]]){\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}σ{\ displaystyle \ sigma}[beim,b]]{\ displaystyle [a, b]}α0,...,αNICHTσ- -1∈R.{\ displaystyle \ alpha _ {0}, ..., \ alpha _ {N _ {\ sigma} -1} \ in \ mathbb {R}}
h=∑k=0NICHTσ- -1αk1[tkσ,tk+1σ[{\ displaystyle h = \ sum _ {k = 0} ^ {N _ {\ sigma} -1} \ alpha _ {k} 1 _ {[t_ {k} ^ {\ sigma}, t_ {k + 1} ^ {\ sigma} [}}
Also fragen wir:
∫beimbh((s)dB.((s)=∑k=0NICHTσ- -1αk{B.((tk+1σ)- -B.((tkσ)}}{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} h (s) \ mathrm {d} B (s) = \ sum _ {k = 0} ^ {N _ {\ sigma} -1} \ alpha _ { k} \ {B (t_ {k + 1} ^ {\ sigma}) - B (t_ {k} ^ {\ sigma}) \}}
Es ist klar, dass es sich um eine zentrierte Gaußsche Zufallsvariable der Varianz handelt .
∫beimbh((s)dB.((s){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} h (s) \ mathrm {d} B (s)}∫beimb|h((s)|2ds{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | h (s) | ^ {2} \ mathrm {d} s}
Darüber hinaus entweder und eine Reihe von Treppenfunktionen von . Dann konvergiert die Sequenz gegen eine Grenze in . Darüber hinaus hängt diese Grenze nicht von der Reihenfolge ab und wird mit bezeichnet .
G∈L.2(([beim,b]]){\ displaystyle g \ in L ^ {2} ([a, b])}H.nicht{\ displaystyle H_ {n}}G∈L.2(([beim,b]]){\ displaystyle g \ in L ^ {2} ([a, b])}((∫beimbH.nicht((s)dB.((s))nicht∈NICHT{\ displaystyle \ left (\ int _ {a} ^ {b} H_ {n} (s) \ mathrm {d} B (s) \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}L.2((Ω){\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}((H.nicht)nicht∈NICHT{\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∫beimbG((s)dB.((s){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (s) \ mathrm {d} B (s)}
Sei die Standard-Brownsche Bewegung, die auf dem probabilisierten Raum definiert ist, und ein Prozess, der an angepasst ist . Es wird auch angenommen, dass überprüft:
Z.{\ displaystyle Z}((Ω,BEIM,F.,P.){\ displaystyle (\ Omega, A, F, P)}σ{\ displaystyle \ sigma}F.{\ displaystyle F}σ{\ displaystyle \ sigma}
E.((∫0T.σs2ds)<+∞{\ displaystyle E \ left (\ int _ {0} ^ {T} \ sigma _ {s} ^ {2} \ mathrm {d} s \ right) <+ \ infty}.
Dann ist das stochastische Integral von in Bezug auf die Zufallsvariable:
σ{\ displaystyle \ sigma}Z.{\ displaystyle Z}
((∫0T.σsdZ.s)=limNICHT→+∞∑nicht=1NICHTσtnicht- -1((Z.tnicht- -Z.tnicht- -1){\ displaystyle \ left (\ int _ {0} ^ {T} \ sigma _ {s} \ mathrm {d} Z_ {s} \ right) = \ lim _ {N \ to + \ infty} \ sum _ { n = 1} ^ {N} \ sigma _ {t_ {n-1}} \ left (Z_ {t_ {n}} - Z_ {t_ {n-1}} \ right)}.
Lemma von Itô
Sei ein stochastischer Prozess, so dass wir haben, wo ein Standard-Wiener-Prozess ist.
x{\ displaystyle x}dx=beimdt+bdz{\ displaystyle \ mathrm {d} x = a \ mathrm {d} t + b \ mathrm {d} z}z{\ displaystyle z}
Nach Itôs Lemma haben wir also eine FunktionG=G((x,t){\ displaystyle G = G (x, t)}
dG=∂G∂tdt+∂G∂xdx+12b2∂2G∂x2dt{\ displaystyle \ mathrm {d} G = {\ frac {\ mathrm {\ partiell} {G}} {\ mathrm {\ partiell} {t}}} \ mathrm {d} t + {\ frac {\ mathrm { \ partiell} {G}} {\ mathrm {\ partiell} {x}}} \ mathrm {d} x + {\ frac {1} {2}} b ^ {2} {\ frac {\ mathrm {\ partiell } ^ {2} {G}} {\ mathrm {\ teilweise} {x ^ {2}}} \ mathrm {d} t}
Eine stochastische Differentialgleichung (DHS) sind die Daten einer Gleichung des Typs , bei dem es sich um einen unbekannten Zufallsprozess handelt, der üblicherweise als Diffusionsgleichung bezeichnet wird. Um das EDS zu integrieren, müssen alle Prozesse gefunden werden, die die gesamte Verteilung überprüfen.
dX.=μ((X.,t)dt+σ((X.,t)dW.t{\ displaystyle \ mathrm {d} X = \ mu (X, t) \ mathrm {d} t + \ sigma (X, t) \ mathrm {d} W_ {t}}X.{\ displaystyle X}
Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist ein stochastischer Prozess, der unter anderem die Geschwindigkeit eines Partikels in einer Flüssigkeit in Dimension 1 beschreibt.
Es ist definiert als die Lösung der folgenden stochastischen Differentialgleichung:
X.t{\ displaystyle X_ {t}}
dX.t=2dB.t- -X.tdt{\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = {\ sqrt {2}} \ mathrm {d} B_ {t} -X_ {t} \ mathrm {d} t},
wo ist eine Standard-Brownsche Bewegung und mit einer gegebenen Zufallsvariablen.
B.t{\ displaystyle B_ {t}}X.0{\ displaystyle X_ {0}}
Der Begriff übersetzt die vielen zufälligen Schocks, denen das Partikel ausgesetzt ist, während der Begriff die Reibungskraft darstellt, die das Partikel erfährt.
dB.t{\ displaystyle \ mathrm {d} B_ {t}}- -X.tdt{\ displaystyle -X_ {t} \ mathrm {d} t}
Die auf den Prozess angewendete Itô-Formel gibt uns:
etX.t{\ displaystyle {e ^ {t}} X_ {t}}
d((etX.t)=etX.tdt+et((2dB.t- -X.tdt)=et2dB.t{\ displaystyle \ mathrm {d} ({e ^ {t}} X_ {t}) = {e ^ {t}} {X_ {t}} \ mathrm {d} t + {e ^ {t}} ( {\ sqrt {2}} {\ mathrm {d} B_ {t}} - {X_ {t}} \ mathrm {d} t) = {e ^ {t}} {\ sqrt {2}} {\ mathrm {d} B_ {t}}},
entweder in integraler Form:
X.t=X.0e- -t+2e- -t∫0tesdB.s{\ displaystyle X_ {t} = {X_ {0}} e ^ {- t} + {\ sqrt {2}} e ^ {- t} \ int _ {0} ^ {t} {e ^ {s} } \ mathrm {d} B_ {s}}
Wenn zum Beispiel ist fast sicher gleich , das Gesetz ist ein Gauß'sche Gesetz des Mittelwert und die Varianz , die in Gesetz konvergiert als gegenüber dem reduzierten zentrierten Gaußschen Gesetz gegen Unendlich.
X.0{\ displaystyle X_ {0}} x{\ displaystyle x}X.t{\ displaystyle X_ {t}}xe- -t{\ displaystyle xe ^ {- t}}1- -e- -2t{\ displaystyle 1-e ^ {- 2t}}t{\ displaystyle t}
Optimale Steuerungsprobleme
Simulationsmethoden
Monte-Carlo-Methode
Die Methoden von Monte Carlo basieren auf dem Gesetz der großen Zahlen . Indem wir ein Experiment mehrmals (theoretisch) unabhängig wiederholen, erhalten wir eine zunehmend zuverlässige Annäherung an den wahren Wert der Erwartung des beobachteten Phänomens.
Solche Methoden werden insbesondere im Finanzbereich zur Bewertung von Optionen eingesetzt, für die es keine geschlossene Formel gibt, sondern nur numerische Näherungen.
Simulation mit rekombinanten Bäumen
Anmerkungen und Referenzen
Siehe auch
Literaturverzeichnis
- Nathalie Bartoli und Pierre Del Moral, Simulation & stochastische Algorithmen , Cépaduès, 2001 ( ISBN 2-85428-560-3 ) .
- Mario Lefebvre, Angewandte stochastische Prozesse , Hermann, 2006 ( ISBN 2-7056-6561-7 ) .
- Francis Comets und Thierry Meyre, Stochastische Kalkül- und Diffusionsmodelle , Dunod, 2006 ( ISBN 2-10-050135-6 ) .
- Bassel Solaiman, Stochastische Verfahren für Ingenieure , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2006 ( ISBN 2-88074-668-X ) .
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