Nicht kommutativer euklidischer Ring
Der Begriff des nichtkommutativen euklidischen Rings verallgemeinert den klassischen Begriff des euklidischen Rings auf den nichtkommutativen Fall. Die verdrillten Polynome (siehe unten ) dienen als Beispiel. Insbesondere ist der Ring von Differentialoperatoren mit Koeffizienten in einem kommutativen Feld ein nicht kommutativer euklidischer Ring.
B.1((k){\ displaystyle B_ {1} \ left (k \ right)}k{\ displaystyle k}
Definitionen und Eigenschaften
Ein Ring ohne einen Teiler von Null wird als linker euklidischer Ring bezeichnet, wenn es eine Funktion gibt , die als linke euklidische Funktion oder linkes euklidisches Stathma bezeichnet wird und die folgenden Bedingungen erfüllt:
R.{\ displaystyle R}θ::R.→NICHT∪{- -∞}}{\ displaystyle \ theta: R \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ left \ {- \ infty \ right \}}
(E1) .
θ((0)=- -∞{\ displaystyle \ theta \ left (0 \ right) = - \ infty}(E2) Für alle .
beim,b∈R.×,θ((beimb)≥θ((beim)>- -∞{\ displaystyle a, b \ in R ^ {\ times}, \ theta \ left (ab \ right) \ geq \ theta \ left (a \ right)> - \ infty}(E3) Für alles und für alles gibt es solche, die
beim∈R.{\ displaystyle a \ in R}b∈R.×{\ displaystyle b \ in R ^ {\ times}}q,r∈R.{\ displaystyle q, r \ in R}
beim=qb+r{\ displaystyle a = qb + r}, ,
θ((r)<θ((b){\ displaystyle \ theta \ left (r \ right) <\ theta \ left (b \ right)}Dies wird als linker Teilungsalgorithmus bezeichnet .
Das Obige ist immer noch gültig, wenn wir uns überall von links nach rechts ändern , indem wir vertauschen und in (E2) und indem wir den Algorithmus der Division links durch den Algorithmus der Division rechts ersetzen :
beim{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
beim=bq+r{\ displaystyle a = bq + r}, .
θ((r)<θ((b){\ displaystyle \ theta \ left (r \ right) <\ theta \ left (b \ right)}Die Elemente und der linke (bzw. rechte ) Teilungsalgorithmus werden als Quotient und ein Rest der rechten (bzw. linken ) Teilung von Par bezeichnet .
q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}beim{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
Ein euklidischer Ring ist ein linker euklidischer Ring, der ein rechter euklidischer Ring ist.
Wenn wir (E2) durch die stärkere Bedingung ersetzen
(E2 ') Für alle und ,
beim,b∈R.×,θ((beim- -b)≤max{θ((beim),θ((b)}}{\ displaystyle a, b \ in R ^ {\ times}, \ theta \ left (ab \ right) \ leq \ max \ left \ {\ theta \ left (a \ right), \ theta \ left (b \ right) ) \ Recht \}}θ((beimb)=θ((beim)θ((b){\ displaystyle \ theta \ left (ab \ right) = \ theta \ left (a \ right) \ theta \ left (b \ right)}Wir zeigen, dass der Rest eindeutig ist (wie auch der Quotient ) und der euklidische Ring auf der linken Seite daher einen eindeutigen Rest haben soll .
r{\ displaystyle r}q{\ displaystyle q}R.{\ displaystyle R}
Die folgende Eigenschaft ist von grundlegender Bedeutung: Ein euklidischer Ring links ist das Prinzipal links (die Demonstration ist identisch mit der im kommutativen Fall: siehe Artikel Euklidischer Ring ).
Beispiele
Der Ring der relativen Zahlen ist ein kommutativer euklidischer Ring mit als euklidischer stathma der Funktion durch definiert , wenn und Parse - Fehler (MathML mit SVG oder PNG als Ausweich (empfohlen für modernen Browser und Eingabehilfen): Ungültige Antwort ( „Math - Erweiterung kann keine Verbindung herstellen Restbase. ”) Vom Server“ / mathoid / local / v1 / ”:): {\ displaystyle \ theta \ left (0 \ right) = - \ infty}
. Dieser euklidische Ring hat keinen eindeutigen Rest.
Z.{\ displaystyle \ mathbb {Z}}θ{\ displaystyle \ theta}θ((nicht)=|nicht|{\ displaystyle \ theta \ left (n \ right) = \ left \ vert n \ right \ vert}nicht≠0{\ displaystyle n \ neq 0}
Lassen Sie den Ring der Differentialoperatoren der Form
beim0((t)dnichtdtnicht+beim1((t)dnicht- -1dtnicht- -1+...+beimnicht((t){\ displaystyle a_ {0} \ left (t \ right) {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} + a_ {1} \ left (t \ right) {\ frac {d ^ {n-1}} {dt ^ {n-1}}} + ... + a_ {n} \ left (t \ right)}.
wo das rationale Brüche mit Koeffizienten im Feld sind oder . Dieser Ring ist ein euklidischer Ring.
beimich((t){\ displaystyle a_ {i} \ left (t \ right)}t{\ displaystyle t}k=R.{\ displaystyle k = \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}B.1((k){\ displaystyle B_ {1} \ left (k \ right)}
Allgemeiner gesagt , lassen Sie ein Feld, einen Automorphismus und eine Ableitung und betrachten Sie den Ring von verdrillten Polynomen von unbestimmt mit Koeffizienten in (siehe den Artikel nicht kommutativer Dedekind-Ring ). Dieser Ring ist euklidisch mit einem einzigen Rest, mit dem Grad für euklidisches Stathma links und rechts.
K.{\ displaystyle K}α{\ displaystyle \ alpha}K.{\ displaystyle K}δ::K.→K.{\ displaystyle \ delta: K \ rightarrow K}α{\ displaystyle \ alpha}R.=K.[X.;;α,δ]]{\ displaystyle R = K [X; \ alpha, \ delta]}X.{\ displaystyle X}K.{\ displaystyle K}R.{\ displaystyle R}
Anmerkungen und Referenzen
Anmerkungen
-
Cohn 1985
-
Bourbaki 2006 , §VII.1, Übung 7
-
Gemäß Konvention,R.×=R.∖{0}}{\ displaystyle R ^ {\ times} = R \ backslash \ left \ {0 \ right \}}
Verweise
- N. Bourbaki , Algebra, Kapitel 4 bis 7 , Springer,2006432 p. ( ISBN 978-3-540-34398-1 )
- (en) Paul Moritz Cohn , Freie Ringe und ihre Beziehungen (2. Aufl.) , London, Academic Press Press,1985595 p. ( ISBN 978-0-12-179152-0 , Hinweis BnF n o FRBNF37359190 )
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