Analoga der Fakultät

In der Mathematik ist die Fakultätsfunktion die von in definierte Funktion, die einer ganzen Zahl n das Produkt von ganzen Zahlen von 1 bis n zuordnet . Es wird $n$ notiert $!$ . Zum Beispiel 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5.040. $\ mathbb{N}$ $\ mathbb{N}$

Viele Funktionen , die der Fakultätsfunktion analog sind, wurden definiert; Diese Seite listet die am häufigsten vorkommenden Varianten auf.

Primorial

Die Primorialfunktion ist der Fakultätsfunktion ähnlich, assoziiert aber mit $n$ nur das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich $n$ . Es wird mit n # oder P( n ) bezeichnet. Zum Beispiel P (7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Multifaktoriell

Die Multifaktorielle Ordnung q von n behält in dem die Fakultät definierenden Produkt nur einen Faktor auf q , ausgehend von n .

Um das Schreiben zu vereinfachen, ist eine übliche Schreibweise, q Ausrufezeichen nach der Zahl n zu verwenden, um diese Funktion zu bezeichnen.

Doppelfakultät

Für q = 2, n !!, doppelte Fakultät von n , wird durch Induktion definiert durch:

{\ displaystyle n !! = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} 0 \ leqslant n \ leqslant 1 \\ n \ mal (n-2) !! & {\ text {si}} n \ geqslant 2 \ end {Fälle}}}

Also :, wobei bezeichnet den ganzzahligen Teil von . ${\ displaystyle n !! = n \ mal (n-2) \ mal (n-4) \ mal \ cdots \ mal \ left (n-2 \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {2}} \ rechts \ rfloor \ rechts)}$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $x$

Mit anderen Worten, n !! ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n , die die gleiche Parität wie n haben .

Die ersten Werte von n !! denn sind 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, ..; Nach A006882 von OEIS . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Einige Identitäten folgen aus der Definition:

n! = n!!(n-1) !!

(2n) !! = 2 ^ {n} n!

(2n + 1) !! = {\ frac {(2n + 1)!} {(2n) !!}} = {\ frac {(2n + 1)!} {2 ^ {n} n!}}

{\ displaystyle (2n-1) !! = {\ frac {(2n)!} {(2n) !!}} = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}} = { \ frac {n!} {2 ^ {n}}} {\ binom {2n} {n}} = {\ frac {\ binom {2n} {2,2, ..., 2}} {n!} }}

(der letzte Zähler ist ein multinomialer Koeffizient )

{\ displaystyle \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)! = {\ sqrt {\ pi } } {\ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n}}}}

Die obigen Formeln können gruppiert werden in: . ${\ displaystyle n !! = 2 ^ {\ frac {n} {2}} \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)! \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ rechts) ^ {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {4}}}$

Sie müssen aufpassen, dass Sie n nicht interpretieren !! wie die Fakultät von n !, die geschrieben werden würde ( n !)! und ist eine viel größere Zahl.

Multifaktoriell höherer Ordnung

Ab q = 3 wird das q- te Multifaktorielle eher mit n bezeichnet ! q ; seine Definition durch Induktion ist:

{\ displaystyle n! _ {q} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ n & {\ text {si}} 1 \ leqslant n \ leqslant q \\ n \ mal ( nq)! _ {q} & {\ text {si}} n \ geqslant q + 1. \ end {cases}}}

Also .

{\ displaystyle n! _ {q} = \ prod \ limits _ {\ stackrel {1 \ leqslant k \ leqslant n} {k \ equiv n {\ bmod {q}}}} k = \ prod _ {k = 0 } ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n-1} {q}} \ right \ rfloor} {(n-kq)} = n (nq) \ cdots \ left (n- \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {q}} \ rechts \ rfloor q \ rechts)}

Erste Werte von n ! 3 : 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280 ; Nach A007661 von OEIS . Erste Werte von n ! 4:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231 ; Fortsetzung A007662 des OEIS . Erste Werte von n ! 5:1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 24, 36, 50, 66 ; Nach A085157 von OEIS .

Kombinatorische Interpretationen

Organisation eines Tennisturniers für 2 n Spieler auf n nicht nummerierten Plätzen.

Einer der Spieler geht auf ein Feld: er hat 2 n -1 potentielle Gegner, die sich ihm auf diesem Feld anschließen können; einer der verbleibenden Spieler geht auf ein anderes Feld: er hat 2 n -3 mögliche Gegner usw.: es gibt mögliche Turniere. ${\ Anzeigestil (2n-1) !!}$

Es ist tatsächlich die Anzahl der Partitionen einer Menge mit 2 n Elementen in n Teilen mit zwei Elementen, wie durch die Formel gezeigt . ${\ displaystyle (2n-1) !! = {\ frac {\ binom {2n} {2,2, ..., 2}} {n!}}}$

Es ist also auch die Anzahl der Permutationen von 2n Objekten ohne Fixpunkt, die sich aus disjunkten Transpositionen ergeben (oder deren Bahnen zwei Elemente haben).

Die Anzahl der Permutationen von 2n Objekten ohne Fixpunkt, deren Zerlegung in disjunkte Zyklen durch Zyklen gerader Ordnung gebildet wird (oder deren Bahnen eine gerade Anzahl von Elementen haben), ist wert , siehe Fortsetzung A001818 des OEIS . ${\ displaystyle ((2n-1) !!) ^ {2}}$

Wir zeigen, dass dies auch die Anzahl der Permutationen von 2n Objekten ist, deren Zerlegung in disjunkte Zyklen durch Zyklen ungerader Ordnung gebildet wird (oder deren Bahnen eine ungerade Anzahl von Elementen haben, oder was gleich der Anzahl von Permutationen ungerader Ordnung entspricht). ${\ displaystyle ((2n-1) !!) ^ {2}}$
Die Anzahl der Permutationen ungerader Ordnung von 2 n +1 Objekten ist wert , siehe die Fortsetzung A000246 des OEIS . ${\ displaystyle (2n + 1) ((2n-1) !!) ^ {2}}$

Hyperfaktoriell

Die Hyperfaktorielle von n , bezeichnet als H ( n ), ist definiert durch:

{\ displaystyle H (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots (n- 1) ^ {n-1} \ cdot n ^ {n}}

Für n = 1, 2, 3, 4,… sind die Werte von H ( n ) 1, 4, 108 , 27 648,… (Fortsetzung A002109 des OEIS ).

Superfaktoriell

Neil Sloane und Simon Plouffe definierten die Superfaktorielle 1995 als das Produkt der ersten n Fakultäten:

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) = \ prod_ {k = 1} ^ {n} k! = \ prod_ {k = 1} ^ {n} k ^ {n-k + 1} = 1 ^ { n} \ cdot 2 ^ {n-1} \ cdot 3 ^ {n-2} \ cdots (n-1) ^ {2} \ cdot n ^ {1}}

Zum Beispiel ist die Superfaktorielle von 4:

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (4) = 1! \ mal 2! \ mal 3! \ mal 4! = 288}

Die Folge der Superfaktoriellen beginnt (ab $sf (0) = 1$ ) mit:

1, 1, 2, 12 , 288 , 34560, 24883200,… (siehe Fortsetzung A000178 des OEIS )

Die Idee wurde im Jahr 2000 von Henry Bottomley auf das superduperfactorial , Produkt von n ersten Superfactorials erweitert, beginnend (seit n = 0) durch:

1, 1, 2, 24 , 6912, 238878720, 5944066965504000,… (siehe Fortsetzung A055462 des OEIS )

dann durch Induktion auf einen beliebigen Faktor der oberen Ebene, wobei die Ebene des Faktors m bis n das Produkt von n Fakultäten der ersten Ebene m - 1 ist, d. h. durch Auswahl der Fakultät der n Ebene m : ${\ displaystyle \ mathrm {f} (n, m)}$

{\ displaystyle \ mathrm {f} (n, m) = \ mathrm {f} (n-1, m) \ mathrm {f} (n, m-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n } k ^ {nk + m-1 \ wähle nk}}

wobei $f( n , 0) = n$ für $n > 0$ und $f (0, m ) = 1 ist$ .

Superfaktoriell (alternative Definition)

Clifford Pickover definiert in seinem Buch Keys to Infinity (1995) die Superfaktorielle von n , bezeichnet mit n $ ($ ist ein faktorielles Zeichen! Mit einem überlagerten S), als:

n \ $ \ equiv {\ begin {matrix} \ underbrace {n! ^ {{{n!} ^ {{{\ cdot} ^ {{{{\ cdot} ^ {{{\ cdot} ^ {{n! } }}}}}}}}}} \\ n! \ end {matrix}}

oder mit Knuths Notation :

{\ displaystyle n \ $ = (n!) \ uparrow \ uparrow (n!)}

Die ersten Elemente der Folge der Superfaktoren sind:

1 \ $ = 1

2 \ $ = 2 ^ {2} = 4

3 \ $ = 6 \ uparrow \ uparrow 6 = 6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {6}}}}}}}}}

;

diese letzte Zahl ist viel zu groß, um in üblicher wissenschaftlicher Schreibweise ausgedrückt werden zu können .

Subfaktoriell

Die subfaktorielle Funktion , notiert! n wird verwendet, um die Anzahl der Fehler von n verschiedenen Objekten zu berechnen , dh die Anzahl der möglichen Permutationen dieser n Objekte, so dass kein Objekt an seiner Stelle verbleibt.

Zum Beispiel gibt es! n Möglichkeit, n Briefe in n frankierte und adressierte Umschläge zu stecken, damit sich keiner der Briefe im richtigen Umschlag befindet.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die subfaktorielle zu berechnen

$!n = n!\sum_{{k = 0}} ^{n} {\ frac {(-1) ^{k}} {k!}}$
${\ displaystyle!n = {\ frac {\ Gamma (n + 1, -1)} {\ mathrm {e}}}}$

wobei $Γ$ die unvollständige Gammafunktion und $e$ die Basis des natürlichen Logarithmus ist .

${\ displaystyle!n = \ left \ lfloor {\ frac {n!} {\ mathrm {e}}} \ right \ rceil}$

wobei bezeichnet die ganze Zahl , die $x$ am nächsten liegt . ${\ displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rceil}$

${\ displaystyle! n =! (n-1) \; n + (- 1) ^ {n}}$
${\ displaystyle! n = (n-1) \; (! (n-1) +! (n-2))}$
${\ displaystyle! n = (n-1) \; a_ {n-2}, \, {\ textrm {mit}} \, a_ {0} = a_ {1} = 1 \, {\ textrm {und} } \, a_ {n} = n \; a_ {n-1} + (n-1) \; a_ {n-2}}$ .

Die ersten Werte dieser Funktion sind:

1 = 0, 2 = 1, 3 = 2, 4 = 9 , 5 = 44 , 6 = 265 , 7 = 1 854 , 8 = 14 833 (Fortsetzung A000166 des OEIS ).

Fibonacci-Fakultät

Die Fibonacci- oder Fibonariel- Fakultät von , bezeichnet mit , wird definiert durch: $nicht$ $n! _ {F}$

{\ displaystyle n! _ {F} = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} F_ {k}}

, wobei die k- te Fibonacci-Zahl ist .

F_ {k}

Die kleinsten Fibonariel sind (von ): 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3 120, 65 520 usw. (siehe Fortsetzung A003266 des OEIS ). ${\ displaystyle 0! _ {F}}$

Die Sequenz von fibonariels ist äquivalent zu einer Funktion des goldenen Verhältnis $φ$ :

{\ displaystyle n! _ {F} \ sim C {\ frac {\ phi ^ {n (n + 1) / 2}} {5 ^ {n / 2}}}}

wo ist die Fibonacci-Faktorenkonstante $VS$

${\ displaystyle C = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ left (- {\ frac {1} {\ phi ^ {2}}} \ right) ^ {k} \ rechts) \ simeq 1,226742 ...}$ (Fortsetzung A062073 des OEIS ).

Fibonacci-Fakultäten sind an der Definition von Fibonomialkoeffizienten beteiligt .

q -faktoriell

Es ist definiert durch . ${\ displaystyle n! _ {q} = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n -1 })}$

Exponentielle Fakultät

Eine exponentielle Fakultät ist eine natürliche Zahl n potenziert mit n - 1, die wiederum mit n - 2 potenziert wird , und so weiter:

{\ displaystyle n ^ {(n-1) ^ {(n-2) \ cdots}}}

Hinweise und Referenzen

(in) Heinrich Dörrie ( trans. Aus der deutschen) 100 Great Probleme der Elementarmathematik: ihre Geschichte und Lösung , Dover ,1965( Online lesen ) , Kap. 6 ( „Der Bernoulli - Euler Problem des falsch adressiert Letters“) , p. 19-21.
(in) Eric W. Weisstein , " Fibonorial " auf MathWorld .
(in) Sergey Kitaev und Toufik Mansour „ Das Problem der Bauern “2003. (Vorveröffentlichung auf arXiv .)
(in) Eric W. Weisstein , " Fibonacci Factorial Constant " auf MathWorld .

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