Gauß-Kuzmin-Gesetz
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gauß-Kuzmin- Gesetz ein diskretes Wahrscheinlichkeitsgesetz mit unendlicher Unterstützung, das als asymptotisches Wahrscheinlichkeitsgesetz der Koeffizienten in der kontinuierlichen Bruchausdehnung einer einheitlichen Zufallsvariablen auf erscheint . Der Name stammt von Carl Friedrich Gauss, der dieses Gesetz 1800 berücksichtigte, und von Rodion Kuzmin, der 1929 über die Massenfunktion eine Grenze für die Konvergenzgeschwindigkeit festlegte :
]]0,1[{\ displaystyle] 0.1 [}
p((k): =P.((X.=k)=- -Log2((1- -1((1+k)2) .{\ displaystyle p (k): = \ mathbb {P} (X = k) = - \ log _ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {(1 + k) ^ {2}}} \ right) ~.}
Gauß-Kuzmin-Theorem
Sei eine einheitliche Zufallsvariable auf und
U.{\ displaystyle U}]]0,1[{\ displaystyle] 0.1 [}
U.=1k1+1k2+⋯{\ displaystyle U = {\ frac {1} {k_ {1} + {\ frac {1} {k_ {2} + \ cdots}}}}seine Entwicklung als kontinuierliche Fraktion. So
limnicht→∞P.{knicht=k}}=- -Log2((1- -1((k+1)2) .{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mathbb {P} \ left \ {k_ {n} = k \ right \} = - \ log _ {2} \ left (1 - {\ frac {1 } {(k + 1) ^ {2}}} \ right) ~.}Oder gleichwertig,
dann
notierendU.nicht=1/.((knicht+1+1/.((knicht+2+⋯)) ;;{\ displaystyle U_ {n} = 1 / (k_ {n + 1} + 1 / (k_ {n + 2} + \ cdots)) ~;}
Δnicht((s): =P.{U.nicht≤s}}- -Log2((1+s){\ displaystyle \ Delta _ {n} (s): = \ mathbb {P} \ left \ {U_ {n} \ leq s \ right \} - \ log _ {2} (1 + s)}konvergiert gegen 0, da es gegen unendlich tendiert.
nicht{\ displaystyle n}
Konvergenzgeschwindigkeit
Im Jahr 1928 gab Kuzmin das Terminal
|Δnicht((s)|≤VSexp((- -αnicht){\ displaystyle | \ Delta _ {n} (s) | \ leq C \ exp (- \ alpha {\ sqrt {n}})}.
Im Jahr 1929 verbesserte Paul Lévy es durch Erhöhung
|Δnicht((s)|≤VS0,7nicht{\ displaystyle | \ Delta _ {n} (s) | \ leq C \, 0 {,} 7 ^ {n}}.
Später zeigt Eduard Wirsing (de) , dass für (die Gauß-Kuzmin-Wirsing-Konstante ) die Grenze ist
λ=0,30366...{\ displaystyle \ lambda = 0 {,} 30366 \ dots}
Ψ((s)=limnicht→∞Δnicht((s)((- -λ)nicht{\ displaystyle \ Psi (s) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ Delta _ {n} (s)} {(- \ lambda) ^ {n}}}}existiert für alles und die Funktion ist analytisch und zufrieden . Weitere Terminals wurden von KI Babenko eingerichtet .
s∈[0,1]]{\ displaystyle s \ in [0,1]}Ψ{\ displaystyle \ Psi}Ψ((0)=Ψ((1)=0{\ displaystyle \ Psi (0) = \ Psi (1) = 0}
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Anmerkungen und Referenzen
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(in) N. Blachman , " Die fortgesetzte Fraktion als Informationsquelle (Match.) " , IEEE Transactions on Information Theory , vol. 30, n o 4,1984, p. 671–674 ( DOI 10.1109 / TIT.1984.1056924 )
-
(in) P. Kornerup und D. Matula , " CFL: Eine lexikografische binäre Darstellung der Rationalen " , Journal of Universal Computer Science , vol. 1,Juli 1995, p. 484–503
-
(in) Eric W. Weisstein , " Gauß-Kuzmin-Distribution " auf MathWorld
-
(en) CF Gauß , Werke Sammlung , vol. 10/1 ( online lesen ) , p. 552–556
-
(in) RO Kuzmin , " ist ein Problem von Gauß ' , DAN SSSR ,1928, p. 375–380
-
(in) RO Kuzmin , " ist ein Problem des Gauss ' , Atti del Congreso Internazionale dei Matematici, Bologna , Flug. 6,1932, p. 83–89
-
P. Lévy , "Von den Wahrscheinlichkeitsgesetzen, von denen die vollständigen und unvollständigen Quotienten einer fortgesetzten Fraktion abhängen ", Bulletin der Mathematical Society of France , vol. 57,1929, p. 178–194 ( online lesen )
-
(in) WA Coppel, Zahlentheorie: Eine Einführung in die Mathematik , Springer,2000610 p. ( ISBN 978-0-387-89485-0 , online lesen ) , p. 480.
-
(in) E. Wirsing , " Nach dem Theorem von Gauss-Kusmin-Levy und dem Frobenius-Theorem für Standardfunktionsräume " , Acta Arithmetica , vol. 24,1974, p. 507–528
-
(in) Eric W. Weisstein , " Gauß-Kuzmin-Wirsing-Konstante " auf MathWorld .
-
(in) KI Babenko , " Über ein Problem von Gauß " , Sowjetische Mathematik. Dokl. , Vol. 19,1978, p. 136–140.