Meridianbogen
In der Geodäsie ist die Messung eines Meridianbogens die möglichst genaue Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten, die auf demselben Meridian , dh auf demselben Längengrad liegen . Zwei oder mehr solcher Bestimmungen in verschiedenen Orten geben Sie dann die Form des Referenz Ellipsoid , die die beste Annäherung an die Form des gibt Geoid . Dieser Vorgang wird als „Bestimmung der Gestalt der Erde “ bezeichnet. Die ersten Messungen der Größe einer kugelförmigen Erde benötigten einen einzigen Bogen . Die neuesten Messungen verwenden astro-geodätische Messungen und satellitengeodätische Methoden, um das Referenzellipsoid zu bestimmen .
Mathematische Beschreibung
Ein Meridianbogen auf einem Ellipsoid hat die exakte Form einer Ellipse . Daher kann seine Länge vom Äquator bis zu einem Punkt auf dem Breitengrad φ als elliptisches Integral berechnet und durch eine abgeschnittene Reihe angenähert werden. Die folgende Entwicklung, die das Quadrat der Exzentrizität e beinhaltet, wurde 1799 von Jean-Baptiste Joseph Delambre gegeben :
B≈beim(1-e2){(1+34e2+4564e4+175256e6+1102516384e8)φ -12(34e2+fünfzehn16e4+525512e6+22052048e8)Sünde2φ +14(fünfzehn64e4+105256e6+22054096e8)Sünde4φ -16(35512e6+3152048e8)Sünde6φ +18(31516384e8)Sünde8φ}.{\ displaystyle {\ begin {aligned} B \ approx & \; a (1-e ^ {2}) \ left \ {\ left (1 + {\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {45} {64}} e ^ {4} + {\ frac {175} {256}} e ^ {6} + {\ frac {11025} {16384}} e ^ {8} \ rechts) \ varphi \ rechts. \\ & \ - {\ frac {1} {2}} \ links ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {15} {16}} e ^ {4} + {\ frac {525} {512}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {2048}} e ^ {8} \ right) \ sin 2 \ varphi \ & \ + { \ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {15} {64}} e ^ {4} + {\ frac {105} {256}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {4096}} e ^ {8} \ rechts) \ sin 4 \ varphi \ & \ - {\ frac {1} {6}} \ links ({\ frac {35} {512}} e ^ {6} + {\ frac {315} {2048}} e ^ {8} \ rechts) \ sin 6 \ varphi \ & \ + {\ frac {1} {8}} \ links. \ links ({\ frac {315 } {16384}} e ^ {8} \ right) \ sin 8 \ varphi \ right \}. \\\ end {aligned}}}
Friedrich Robert Helmert verwendete 1880 die folgende Formel, indem er posierte :
nicht=1-1-e21+1-e2≃e24{\ displaystyle n = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ simeq {\ frac {e ^ {2}} {4}}}
B≈beim1+nicht{(1+nicht24+nicht464)φ-32(nicht-nicht38)Sünde2φ +fünfzehn16(nicht2-nicht44)Sünde4φ-3548nicht3Sünde6φ+315512nicht4Sünde8φ}.{\ displaystyle {\ begin {aligned} B \ approx & \; {\ frac {a} {1 + n}} \ left \ {\ left (1 + {\ frac {n ^ {2}} {4}} + {\ frac {n ^ {4}} {64}} \ rechts) \ varphi - {\ frac {3} {2}} \ links (n - {\ frac {n ^ {3}} {8}} \ rechts) \ sin 2 \ varphi \ rechts. \\ & \ \ links. + {\ frac {15} {16}} \ left (n ^ {2} - {\ frac {n ^ {4}} {4 }} \ right) \ sin 4 \ varphi - {\ frac {35} {48}} n ^ {3} \ sin 6 \ varphi + {\ frac {315} {512}} n ^ {4} \ sin 8 \ varphi \ right \}. \\\ end {aligned}}}
Kazushige Kawase gab 2009 eine allgemeine Formel:
B=beim1+nichtΣj=0∞(Πk=1jεk)2{φ+Σl=12j(1l-4l)Sünde2lφΠich=1lεj+(-1)ich⌊ich/2⌋(-1)ich},{\ displaystyle B = {\ frac {a} {1 + n}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {k = 1} ^ {j} \ varepsilon _ {k } \ right) ^ {2} \ left \ {\ varphi + \ sum _ {l = 1} ^ {2j} \ left ({\ frac {1} {l}} - 4l \ right) \ sin 2l \ varphi \ prod _ {m = 1} ^ {l} \ varepsilon _ {j + (- 1) ^ {m} \ lfloor m / 2 \ rfloor} ^ {(- 1) ^ {m}} \ right \}, }
in denen .
εich=3nicht/2ich-nicht{\ displaystyle \ varepsilon _ {i} = 3n / 2i-n}
Durch Abschneiden der Summe bei j = 2 erhalten wir die Helmert-Formel.
Näherungen
Der Polarabstand kann durch die Formel von Muir angenähert werden :
ichp=∫0π/2M(φ)dφ≈π2[beim3/2+b3/22]2/3.{\ displaystyle m_ {p} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! M (\ varphi) \, d \ varphi \; \ approx {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {a ^ {3/2} + b ^ {3/2}} {2}} \ rechts] ^ {2/3} \, \ !.}![{\ displaystyle m_ {p} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! M (\ varphi) \, d \ varphi \; \ approx {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {a ^ {3/2} + b ^ {3/2}} {2}} \ rechts] ^ {2/3} \, \ !.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0519794eb690db9354a3ecfb500c0fd12398b544)
Hinweise und Referenzen
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Delambre, JBJ (1799): Analytische Methoden zur Bestimmung eines Meridianbogens ; Vorangegangen sind Memoiren zu demselben Thema von AM Legendre , De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
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(de) Helmert, FR (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie , Einleitung und 1 Teil , Druck und Verlag von BG Teubner, Leipzig, 44–48
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(ja)河 瀬 和 重 (Kawase, K.) (2009):緯度 を 与 え て 赤道 か ら の の を 求 求 め 一子般 的 な 計算 式 (Eine allgemeine Formel für die meridionale Entfernung vom Äquator zu Gegebener Breitengrad) , 国土地理 院 時報 (Journal of the Geographical Survey Institute), 119 , 45–55
-
(in) Kawase, K. (2011): Eine allgemeine Formel zur Berechnung der Meridianbogenlänge und ihre Anwendung auf die Koordinatenumrechnung in der Gauss-Krüger-Projektion , Bulletin of the Geospatial Information Authority of Japan , 59 , 1-13
Siehe auch
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