B-Spline

In der Mathematik ist ein B-Spline eine lineare Kombination von positiven Splines mit minimaler kompakter Unterstützung. B-Splines sind die Verallgemeinerung von Bézier-Kurven , sie können wiederum von NURBS verallgemeinert werden .

Definition

Gegeben sind m + 1 Knoten t i in [0, 1] mit $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ Eine Grad- Spline-Kurve ist eine parametrische Kurve $nicht$ ${\ mathbf {S}} \,: \, [0,1] \ bis {\ mathbb {R}} ^ {d}$ zusammengesetzt aus B-Spline-Funktionen des Grades n ${\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ in [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , wobei das P i ein Polygon bildet, das als Steuerpolygon bezeichnet wird ; Die Anzahl der Punkte, aus denen dieses Polygon besteht, ist gleich m - n .

Die m - n B-Spline-Funktionen des Grades n werden durch Induktion im unteren Grad definiert: $b _ {{j, 0}} (t): = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 & {\ mathrm {sonst}} \ end {matrix}} \ right.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Wenn die Knoten äquidistant sind, dh wenn sie sich im arithmetischen Verlauf befinden, werden die B-Splines als "einheitlich" bezeichnet: Dies ist der Fall für Bézier-Kurven, die einheitliche B-Splines sind, deren Knoten t i (für i zwischen 0 und m ) bilden eine arithmetische Folge von 0 bis 1 mit einem konstanten Schritt 1 / m , wobei der Grad n der Bézier-Kurve nicht größer als m sein kann .

Wenn zwei aufeinanderfolgende Knoten und zusammengeführt werden, stellt sich einer auf : Dies hat den Effekt, dass eine Diskontinuität der Tangente für den Punkt der Kurve definiert wird, der durch einen Wert von t parametrisiert ist , um dort eine Scheitelpunktschale ohne Winkel zu erzeugen; Es ist jedoch oft einfacher, diesen "erweiterten B-Spline" als die Vereinigung von zwei B-Splines zu definieren, die mit unterschiedlichen Knoten definiert sind, wobei diese Splines einfach durch diesen gemeinsamen Scheitelpunkt verbunden werden, ohne dass hier Schwierigkeiten bei der parametrischen Bewertung auftreten B-Splines für bestimmte Werte des Parameters t . Dies ermöglicht es dann jedoch, jedes einfache Polygon als erweiterten B-Spline zu betrachten. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Eigenschaften

Die Form der Grundfunktionen wird durch die Position der Knoten bestimmt.

Die Kurve befindet sich innerhalb der konvexen Hüllkurve der Kontrollpunkte.

Ein B-Spline vom Grad n $b _ {{i, n}} (t)$ ist im Intervall [ t i , t i + n + 1 ] ungleich Null : $b _ {{i, n}} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 & {\ mathrm {else}} \ end {matrix}} \ right.$

Mit anderen Worten, das Verschieben eines Kontrollpunkts ändert nur lokal die Form der Kurve.

B-Splines in einer Dimension

B-Splines können als Grundfunktionen in der Approximationstheorie verwendet werden. Der B-Spline vom Grad n ist gegeben durch: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ left (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ right) _ {+} ^ {n}}$ , Dabei ist (y) + eine erweiterte Version der positiven Teilfunktion : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ begin {case} 0 & {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} & {\ text {si}} x = 0 {\ text {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} & {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {und}} n \ geqslant 1 \ end {case}}$

Wir erkennen insbesondere den Spline vom Grad 0 als Gate-Funktion .

Diese Funktionen interpolieren nicht, aber ihre hohe Regelmäßigkeit auf einem kompakten Medium macht sie zu interessanten Kandidaten für die Approximation von Funktionen.

Verweise

(in) P. Thevenaz, Blu T. und M. Unser, " Interpolation revisited " , IEEE Transactions on Medical Imaging , Vol. 3, No. 19, n o 7,Juli 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

Interne Links

Externe Links

(de) Splines: Ein einheitliches Framework für die Bildverarbeitung (Tutorial zu B-Splines)